Porcentajes (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Concepto de tanto por ciento
- 1.1 Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales
2 Cálculo de porcentajes
3 Aumentos y disminuciones porcentuales
4 Actividades

(Pág. 158)

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Concepto de tanto por ciento

Un porcentaje es una razón entre un número n y 100 y representa las partes que tomamos de un total de 100.
Se representa escribiendo el número seguido del símbolo %, esto es:

$n% = \cfrac{n}{100}$ (se lee " $n\;$ por ciento")

Ejemplos

$\frac{30}{100}=30%; \quad \frac{2}{100}=2%; \quad \frac{120}{100}=120%;\quad \frac{200}{100}=200%;$

Se lee: 30 por ciento; 2 por ciento; 120 por ciento; y 200 por ciento.

Significado del tanto por ciento

Ejercicio 1 (3'08") Sinopsis:

Colorea el 20% de un cuadrado.

Ejercicio 2 (2'32") Sinopsis:

Colorea el 109% de un cuadrado.

Significado del tanto por ciento

Actividad 1 Descripción:

Actividades para aprender y practicar con el significado de los porcentajes. Los porcentajes podemos verlos como fracción o como número decimal.

Actividad 2 Descripción:

Actividades para aprender y practicar con el significado de los porcentajes. Los porcentajes podemos verlos como fracción o como número decimal.

Autoevaluación 1 Descripción:

Introducción a los porcentajes.

Autoevaluación 2 Descripción:

Porcentajes a partir de modelos de fracciones.

Autoevaluación 3 Descripción:

Relaciona fracciones, decimales y porcentajes.

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Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales

Hemos definido un porcentaje como una fracción y sabemos que una fracción se puede escribir como un número decimal. Por tanto, un porcentaje lo podemos expresar de tres formas equivalentes: como porcentaje, como fracción o como número decimal.

Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales

Ejercicio 1 (2'37") Sinopsis:

Convierte el decimal 0.601 a un porcentaje equivalente.

Ejercicio 2 (1'50") Sinopsis:

Convierte el decimal 1.501 a un porcentaje equivalente.

Ejercicio 3 (2'03") Sinopsis:

Convierte 59.2% en un decimal equivalente.

Ejercicio 4 (2'05") Sinopsis:

Convierte 113.9% en un decimal equivalente.

Ejercicio 5 (4'29") Sinopsis:

Convierte 18% en un decimal y en una fracción equivalente.

Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales

Actividad 1 Descripción:

Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales.

Actividad 2 Descripción:

Repaso de conversión entre decimales y porcentajes.

Actividad 3 Descripción:

Repaso de conversión entre porcentajes y fracciones.

Autoevaluación 1 Descripción:

Convertir decimales en porcentajes.

Autoevaluación 2 Descripción:

Convertir porcentajes en decimales.

Autoevaluación 3 Descripción:

Convertir porcentajes y fracciones.

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Cálculo de porcentajes

Cálculo del porcentaje

Para hallar el $n%\;$ de una cantidad, $C\;$ , podemos proceder de dos formas:

Calculando la fracción de dicha cantidad:

$n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C$

Mediante una proporción (regla de tres directa):

$\left .\begin{matrix}100 \rightarrow C \\ ~n~ \rightarrow x\end{matrix} \right \} \rightarrow x=\cfrac{n \cdot C}{100}$

Ejemplo: Cálculo de porcentajes (2 métodos)

En un pueblo hay 2000 habitantes, de los cuales el 16% son niños. ¿Cuántos niños hay en el pueblo?

Solución:

Método 1: A partir de la definición de porcentaje:

El 16% de 2000 $= \frac{16}{100} \cdot 2000=0,16 \cdot 2000=320$ niños

Método 2: Mediante una regla de tres:

     100% ----> 2000
      16% ---->   x

$x=\frac{16 \cdot 2000}{100}= 320$ niños

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Cálculo rápido de un porcentaje

Hemos visto que un porcentaje es equivalente a una razón de divisor 100, y dividir entre 100 es muy fácil (basta correr la coma decimal dos lugares a la izquierda). Así, si transformamos esa razón en un número decimal mentalmente, el cálculo del tanto por ciento se reduce a una simple multiplicación.

Cálculo rápido de un porcentaje

Calcular el n% de una cantidad equivale a multiplicar la cantidad por el número que resulta de dividir n entre 100.

Ejemplos:

Calcula:

a) El 15% de 120.

b) El 5% de 250.

Solución:

a) $120 \cdot 0.15 = 18$

b) $250 \cdot 0.05 = 12.5$

Porcentajes

Tutorial 1 (5'38") Sinopsis:

Cálculo del procentaje de un número. Ejemplos.

Tutorial 2 (24'51") Sinopsis:

Tutorial en el que se dan los conceptos matemáticos de proporción y porcentaje, viendo la información que aporta cada uno de ellos y cómo pasar de una forma a otra.

Tutorial 3 (5'30") Sinopsis:

Definición de tanto por ciento. Ejemplos.

Tutorial 4 (0'49") Sinopsis:

Definición de tanto por ciento. Ejemplos.

Tutorial 5 (1'59") Sinopsis:

Definición de tanto por ciento. Ejemplos.

Ejercicio 1 (5'04") Sinopsis:

¿Cuál es el 12% de 75?

Ejercicio 2 (4'15") Sinopsis:

¿Cuál es el 30% de 6?

Problema (5'32") Sinopsis:

Gasté el 30% de mi dinero y regalé el 16% de lo que me quedó. Si al principio tenía 250€, ¿cuánto tengo ahora?

Problemas (6'11") Sinopsis:

Problemas de cálculo del porcentajes por el método directo.

Cálculo rápido de porcentajes Descripción:

Calcula los siguientes porcentajes en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) 10% de 43; b) 60% de 200; c) 50% de 40; d) 5% de 1000; e) 25% de 400.

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Porcentajes sencillos

Hay algunos porcentajes que se pueden calcular fácilmente:

Procedimiento

Calcular el 10% equivale a dividir por 10.
Calcular el 20% equivale a dividir por 5.
Calcular el 25% equivale a dividir por 4.
Calcular el 50% equivale a dividir por 2.

Porcentajes sencillos Descripción:

Calcula mentalmente:

¿Qué resultado es el correcto? Pincha con el ratón el punto rojo y llévalo a la caja del número que te parezca correcto. Para hacer otro ejercicio pulsa el botón inicio

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Actividades

Cálculo de porcentajes

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que aprenderás a calcular porcentajes por tres métodos: regla de tres, producto por una fracción y producto por un decimal.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en las que aprenderás a calcular porcentajes.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre cálculo de porcentajes.

Autoevaluación 2 Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre cálculo de porcentajes.

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Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes

En cualquier situación con porcentajes están involucrados tres elementos: la cantidad total, la parte de esa cantidad y el propio tanto por ciento.

Estos tres elementos forman parte de una proporción con dos razones igualadas, una de las cuales siempre tiene el número 100 como denominador.

$\cfrac{Tanto \ por \ ciento}{100}=\cfrac{Parte}{Total}$

También podemos verlo como una regla de tres:

$\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento ~ \ \longrightarrow \ Parte \\ \qquad \quad 100 \qquad \quad \longrightarrow \ ~~Total \end{matrix} \right \}$

Porcentajes como proporción directa

Tutorial (4'27") Sinopsis:

Cálculo de porcentajes como proporción directa.

Problemas (14'04") Sinopsis:

Problemas usando porcentajes como proporción directa.

Porcentajes como fracción

Tutorial (3'41") Sinopsis:

Cálculo del porcentajes como fracción de una cantidad. Cálculo de la parte, del total o del porcentaje.

Problemas (12'27") Sinopsis:

Problemas de ejemplo de cálculo del porcentajes como fracción de una cantidad. Cálculo de la parte, del total o del porcentaje.

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Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje (porcentaje inverso)

Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

Solución:

Método 1: A partir de la definición de porcentaje:

Si llamamos $C\;\!$ al total de alumnos de la clase:

$5=\frac{20}{100} \cdot C$

Y despejando $C\;\!$ :

$C=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Método 2: Mediante una regla de tres

                %        alumnos
               ----      -------
  Parte:        20   ---->  5
  Total:       100   ---->  x

Y despejando $x\;\!$ :

$x=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Porcentaje inverso

Tutorial 1 (4'58") Sinopsis:

Cálculo del total conocida una parte y el porcentaje. Ejemplos.

Tutorial 2 (16'34") Sinopsis:

Tutorial en el que se dan los conceptos matemáticos de porcentajes y se explica/justifica como calcular porcentajes de cantidades o bien la cantidad a la que se le aplicó una proporción.

Ejercicio 1 (2'13") Sinopsis:

¿De qué número es 300 el 40%?

Ejercicio 2 (2'32") Sinopsis:

¿De qué número es 150 el 25%?

Ejercicio 3 (6'28") Sinopsis:

¿De qué número es 78 es el 15%?

Problema 1 (6'19") Sinopsis:

Hoy las guayabas estaban rebajadas un 30% en el mercado y por 6 unidades pagué $12.60. ¿Cuánto habría pagado por 2 guayabas si no hubiesen estado rebajadas?

Problema 2 (3'31") Sinopsis:

Un zoológico tiene 15 pingüinos emperador que constituyen el 30% del total de pingüinos del zoológico. ¿Cuántos pingüinos hay en el zoológico?

Porcentaje inverso

Actividad Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo del total conocida una parte y el porcentaje (porcentaje inverso), y de la parte conocido el total y el porcentaje (porcentaje directo).

Autoevaluación Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre cálculo de porcentajes inversos.

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Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

Procentaje correspondiente a una proporción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, $a\;\!$ , repecto a un total, $C\;\!$ , se efectúa la siguiente operación:

$\frac{a}{C}\cdot 100$

Ejemplo: Porcentaje correspondiente a una proporción

En un grupo del instituto, de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados?. ¿Y los suspensos?

Solución:

$\frac{21}{30}\cdot 100=0,7 \cdot 100=70$

Por tanto el 70% aprueban y el 30% suspenden.

También podemos hacerlo mediante una regla de tres:

                      %          alumnos
                    ----         -------
 Total:              100   ---->   30 
 Parte (aprobados):   x    ---->   21

$x=\frac{21 \cdot 100}{30}=70$

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

Tutorial (5'30") Sinopsis:

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total. Ejemplos.

Ejercicio 1 (2'20") Sinopsis:

¿Qué porcentaje es 425 de 500?

Ejercicio 2 (5'15") Sinopsis:

¿Qué porcentaje de 16 es 4?

Ejercicio 3 (4'38") Sinopsis:

¿Qué porcentaje es 100 de 80?

Problema 1 (1'47") Sinopsis:

Un hotel tiene 300 habitaciones de las que 60 están vacías. ¿Cua´l es el porcentaje de ocupación?

Problema 2 (4'38") Sinopsis:

En México 13 de cada 20 latas son recicladas. ¿Qué porcentaje de latas es reciclado?

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

Actividad Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo del porcentaje conocida una parte y el total.

Autoevaluación Descripción:

Actividades de autoevaluación sobre cálculo del porcentaje a partir de la parte y el total.

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Actividades

Cálculo del total y del porcentaje

Actividad Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo del total conocida una parte y el porcentaje, o del porcentaje conocida una parte y el total.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre porcentajes.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas de autoevaluación sobre porcentajes.

Antes de hacer la autoevaluación puedes ver algunos ejemplos aquí: Ejemplos

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Porcentajes

(Pág. 159)

4a,b; 5a,b; 6a,b; 8 al 15

1; 2; 3; 4c,d,e; 5c,d,e; 7

Ejercicios propuestos: Porcentajes y fracciones

(Pág. 160)

16, 17, 19

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Aumentos y disminuciones porcentuales

La forma de resolver problemas de aumentos y disminuciones porcentuales no es diferente a la que hemos usado para resolver otros problemas de porcentajes, pero hay que tener especial precaución a la hora de colocar los elementos que intervienen en la regla de tres.

$\left . \begin{matrix} Tanto \ por \ ciento \ tr\acute{a}s \ disminuir \ o \ aumentar ~ \ \longrightarrow \ Valor \ tr\acute{a}s \ disminuir \ o \ aumentar \\ \qquad \qquad 100 \qquad \qquad \qquad \longrightarrow \ Valor \ inicial \end{matrix} \right \}$

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Aumentos porcentuales

Ejercicio resuelto: Aumentos porcentuales

Las reservas de agua de un embalse han aumentado este año un 20% respecto al año pasado, que eran 60 millones de litros. ¿Cuáles son las reservas actuales?

Solución:

Método 1: A partir de la definición de porcentaje

Reservas actuales = Reservas del año pasado + aumento del 20% =

$= 60 + \cfrac {20 \cdot 60}{100} = 60 + 12 = 72$ millones de litros.

Método 2: Mediante una regla de tres

                %         Reservas
               -----      --------
  Año pasado:   100  ---->  60
  Año actual:   120  ---->   x

$x=\frac{60 \cdot 120}{100}= 72$ millones de litros

Método 3: Multiplicando por el índice de variación

El índice de variación para un aumento del 20% se calcula como sigue:

$I_V=1+\cfrac{20}{100}=1+0.2=1.2$

Reservas actuales $=60 \cdot 1.2 = 72$ millones de litros.

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Disminuciones porcentuales

Ejercicio resuelto: Disminuciones porcentuales

Las reservas de agua de un embalse han disminuido este año un 20% respecto al año pasado, que eran 60 millones de litros. ¿Cuáles son las reservas actuales?

Solución:

Método 1: A partir de la definición de porcentaje

Reservas actuales = Reservas del año pasado - disminución del 20% =

$= 60 - \cfrac {20 \cdot 60}{100} = 60 - 12 = 48$ millones de litros.

Método 2: Mediante una regla de tres

                %         Reservas
               ----       --------
  Año pasado:  100   ---->   60
  Año actual:   80   ---->    x

$x=\frac{60 \cdot 80}{100}= 48$ millones de litros

Método 3: Multiplicando por el índice de variación

El índice de variación para una disminución del 20% se calcula como sigue:

$I_V=1-\cfrac{20}{100}=1-0.2=0.8$

Reservas actuales $= 60 \cdot 0.8 = 48$ millones de litros.

Aumentos y disminuciones porcentuales

Tutorial 1 (6'03") Sinopsis:

Cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales . Ejemplos.

Tutorial 2 (26'05") Sinopsis:

Tutorial que explica los problemas de porcentajes y proporciones simples, es decir donde sólo interviene una variación, viendo distintos métodos para dar con la solución.

Tutorial 3 (6'35") Sinopsis:

Cálculo de porcentajes y de incrementos y disminuciones porcentuales por el método directo. Ejemplos.

Problemas (6'35") Sinopsis:

Problemas de cálculo de porcentajes y de incrementos y disminuciones porcentuales por el método directo.

Aumentos y disminuciones porcentuales

Aumentos porcentuales:

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de aumentos porcentuales.

Actividad 2 Descripción:

Calcula los siguientes aumentos porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) En un instituto hay un 12% más de alumnas que de alumnos. ¿Cuántas alumnas hay sabiendo que hay 150 alumnos?

b) El precio de una bicicleta que costaba 400 € el año pasado, ha subido un 20%.¿Cuál es el precio actual?

c) Actualmente me dan 15 € mensuales de paga, pero he convencido a mis padres para que me suban el 15%. ¿Cuál será mi paga a partir de ahora?

d) ¿Cuánto hay que pagar por un disco de 15 € si hay que sumarle el 16% de IVA?

e) La factura de teléfono de este mes es de 45 € sin IVA. ¿Cuánto será al añadirle el 16% de IVA?

f) ¿Cuánto nos costará dormir una noche en un hotel sabiendo que la habitación vale 70 € sin IVA y el IVA es del 7%?

Autoevaluación Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de aumentos porcentuales.

Disminuciones porcentuales:

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de disminuciones porcentuales.

Actividad 2 Descripción:

Calcula las siguientes disminuciones porcentuales en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) Un ordenador cuesta este año 850 €. ¿Cuánto costará el año que viene sabiendo que perderá el 40% de su valor?

b) Mis padres me han dado 40 € por mi cumpleaños. ¿Cuánto me quedará al final del día si me gasto el 80% de lo que me han dado?

c) Un trabajador tiene un salario bruto de 980 € al mes, del que le descuentan un 12% en impuestos. ¿Qué salario neto percibe?

d) En una tienda hacen una rebaja del 20% a todos los artículos. ¿Cuanto costará ahora una camisa que antes costaba 35 €? ¿Y un pantalón de 40 €?

e) Tengo 52 € y me quiero comprar un MP3 que costaba antes de las rebajas 60 €. ¿Podré pagarlo si lo rebajan un 15%?

f) Quiero comprarme unas zapatillas de deporte. En una tienda veo dos que me gustan; las primeras tienen un precio de 45 € y una rebaja del 30% y las segundas cuestan 35 € pero no tienen rebaja. ¿Cuáles salen más baratas?

Autoevaluación 1 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de disminuciones porcentuales.

Autoevaluación 2 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de disminuciones porcentuales.

Aumentos y disminuciones porcentuales:

Autoevaluación 1 Descripción:

Actividades en las que practicarás el cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales.

Si quieres puedes ver unos ejemplos antes de hacer la autoevaluación: [1]

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas de cálculo de aumentos y disminuciones porcentuales.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Aumentos y disminuciones porcentuales

(Pág. 161)

1, 2

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Actividades

Problemas con porcentajes (I) Descripción:

Practica distintos problemas de porcentajes.

Problemas con porcentajes (II) Descripción:

Problemas con porcentajes de diversos tipos.

Problemas de variaciones porcentuales Descripción:

Problemas de aumentos y disminuciones porcentuales de diversos tipos.

Autoevaluación 1 Descripción:

Autoevaluación sobre porcentajes.

Autoevaluación 2 (Problemas) Descripción:

Autoevaluación sobre problemas con porcentajes.

Autoevaluación 2 (Problemas) Descripción:

Autoevaluación sobre problemas de aumentos porcentuales y comisiones.

Autoevaluación 4 Descripción:

Problemas de autoevaluación sobre porcentajes.

Problemas resueltos Descripción:

Problemas resueltos sobre porcentajes.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Porcentajes_%281%C2%BA_ESO%29"

Categorías: Matemáticas | Aritmética

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-'''Método 1: A partir de la definición de porcentaje'''
-Reservas actuales = Reservas del año pasado - disminución del 20% =
-:<math>= 60 - \cfrac {20 \cdot 60}{100} = 60 - 12 = 48</math> millones de litros.
-{{b4}}
-'''Método 2: Mediante una regla de tres'''
-                 %        Reservas
-                ----      --------
-   Año pasado:  100%  ---->  60
-   Año actual:   80%  ---->  x
-<center><math>x=\frac{60 \cdot 80}{100}= 48</math> {{b}} millones de litros</center>
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Concepto de tanto por ciento

Conversión entre porcentajes, fracciones y decimales

Cálculo de porcentajes

Cálculo rápido de un porcentaje

Porcentajes sencillos

Actividades

Elementos que intervienen en el cálculo de porcentajes

Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total

Actividades

Ejercicios propuestos

Aumentos y disminuciones porcentuales

Aumentos porcentuales

Disminuciones porcentuales

Ejercicios propuestos

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