Potencias

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Tabla de contenidos

1 Potencias de números naturales
- 1.1 Propiedades de las potencias de naturales
- 1.2 Actividades
2 Potencias de números enteros
3 Potencias de fracciones
- 3.1 Potencias de exponente negativo
4 Ejercicios

Potencias de números naturales

Antes de empezar Descripción:

Bits, bytes, megas y más.

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

$\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}$ (Se lee: " $a\;$ elevado a $b\;$ ")

El número $a\;$ se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
El número $b\;$ se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Por convenio, se establece que: $a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;$ .
Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.

bartolomecossio.com

¡Ojo, no confundir!

Ejemplo:

Luisa quiere saber cuántos bisabuelos y tatarabuelos ha tenido. Para contarlos dibuja en su cuaderno su árbol genealógico:

Ella tiene 2 padres (un padre y una madre): $2^1=2\;$ padres.

Cada uno de ellos tiene 2 padres. Por tanto, ella tiene $2 \cdot 2 = 2^2 = 4$ abuelos.

Cada abuelo tiene a su vez 2 padres, luego ella tiene $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = 8$ bisabuelos.

Cada bisabuelo tiene a su vez 2 padres; ella tiene $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16$ tatarabuelos.

Ejemplo sacado de: Proyecto Descartes

Potencias de números naturales

Tutorial 1 (6'59") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial 2 (1'32") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial 3 (4'11") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Tutorial 4 (4'49") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Tutorial 5a (9'04") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos

Tutorial 5b (3'45") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente cero. Ejemplos

Tutorial 6 (3'47") Sinopsis:

Potencias de números naturales. Ejemplos

Ejemplos (9'14") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural. Ejemplos.

Potencias de números naturales

Actividad 1 Descripción:

Actividad 2 Descripción:

Practica con las potencias de números naturales.

Actividad 3a Descripción:

Introducción a las potencias.

Actividad 3b Descripción:

Elevar números al cuadrado.

Actividad 3c Descripción:

Repaso de potencias.

Actividad 4 Descripción:

Observa cómo varía el resultado al modificar la base y el exponente.

Actividades:

Haz uso de la escena anterior y contesta en tu cuaderno:

¿Qué valor tiene una las potencia cuya base es el número 0, sea cual sea el exponente?
¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 1, sea cual sea el exponente?
¿Qué valor tiene una potencia cuyo exponente es el número 1, sea cual sea la base?
Calcula $100$ , $101$ , $102$ , $103$ , $104$ .
Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados perfectos. Calcula los cuadrados de los primeros 15 números naturales.
Las potencias de exponente 3 se llaman cubos perfectos. Calcula los cubos de los primeros 15 números naturales.

Autoevaluación 1 Descripción:

Potencias de números naturales (I)

Autoevaluación 2a Descripción:

Potencias (básico)

Autoevaluación 2b Descripción:

Potencias

Autoevaluación 3 Descripción:

Autoevaluación 4 Descripción:

Elementos de una potencia:

Rellena todas las cajas inferiores y pulsa "intro" al final. Cuando hayas marcado correctamente los tres aparecerá el mensaje CORRECTO, pero si marcas antes un número equivocado ya no aparecerá ese mensaje, por eso, no emplees los triángulos arriba y abajo para variar el número.

Autoevaluación 5 Descripción:

Expresa productos de números como potencias.

Autoevaluación 6 Descripción:

Asocia los resultados de estas potencias:

Problema Descripción:

Ana tiene 5 cajas de bombones. cada caja tiene 5 filas de bombones y cada fila tiene 5 bombones. ¿Cuántos bombones tiene Ana en total?

Potencias de números naturales

Actividad: Potencias

Calcula:

a) $3^5\;$ .

b) $100^0\;$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 3^5

b) 100^0

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla .

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {4^3}{2^4}$

Procedimiento: $4\;\!$ $3\;\!$ $2\;\!$ $4\;\!$

Solución: $4\;\!$

Propiedades de las potencias de naturales

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Ejemplos:

Producto de potencias de la misma base:

$\begin{matrix} 5^4 \cdot 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ \cdot \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4+3} = 5^7 \\ \; \end{matrix}$

Cociente de potencias de la misma base:

$\begin{matrix} 5^4 : 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot \not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ : \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (\not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4-3} = 5^1 \\ \; \end{matrix}$

Potencia de un producto:

$(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

$2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 8 \cdot 27 = 216$

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.

Potencia de un cociente:

$(6 : 3)^3 = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

$6^3 : 2^3 = 16 : 27 = 8\;$

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.

Potencia de otra potencia:

$(5^4)^3 = 5^4 \cdot 5^4 \cdot 5^4 = 5^{4+4+4} = 5^{4 \cdot 3} = 5^{12}$

Potencia cero: Cuando se vio la definición de potencia, dijimos que $a^0 = 1\;$ por convenio. Expliquemos ésto ahora un poco mejor:

$\left.\begin{matrix} 5^3:5^3 =5^{3-3}=5^0 \\ 5^3:5^3=125:125=1 \end{matrix}\right\} \ \rightarrow \ 5^0 = 1$

Propiedades de las operaciones con potencias

Tutorial 1 (8'12") Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial2 (8'20") Sinopsis:

Producto de potencias de la misma base.
Cociente de potencias de la misma base.
Potencia de otra potencia.
Ejemplos.

Producto de potencias de la misma base (4'26") Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (4'33") Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de otra potencia (3'43") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de otra potencia.

Producto de potencias de la misma base (5'11") Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (5'58") Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de un producto (4'57") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un producto.

Potencia de un cociente (5'24") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un cociente.

Potencia de una potencia (4'51") Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de una potencia.

Propiedades de las potencias (2'32") Sinopsis:

Enunciados de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejemplos de las propiedades de las potencias (3'28") Sinopsis:

Ejemplos de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 1 (2'09") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 2 (3'40") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 3 (3'37") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 4 (3'42") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 5 (2'47") Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Actividades

Operaciones con potencias de números naturales

Actividad Descripción:

Ejercicios con potencias de números naturales.

Juegos Descripción:

Potencias de números enteros

Los siguientes videotutoriales condensan lo que vamos a ver en este apartado sobre potencias de números enteros:

Potencias de números enteros

Tutorial 1 (6'09") Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero. Ejemplos.

Tutorial 2 (13'07") Sinopsis:

Ejemplos de potencias de números enteros.

Tutorial 3 (19'28") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica a través de varios ejemplos la potencia con números enteros y las operaciones combinadas con multiplicación, división y potencia de números enteros.

00:00 a 05:55: Potencia de número enteros, definición.
05:55 a 09:15: Ejercicios simples de Potencias.
09:15 a 13:07: Ejercicios de Combinadas de Multiplicación, División y Potencias.

Tutorial 4 (9'54") Sinopsis:

Potencias de números enteros.

Tutorial 5 (18'37") Sinopsis:

Potencias de base entera y exponente natural. Producto de potencias. División de potencias. Potencias de una potencia. Potencia de un producto. Signo de una potencia.

Definición de potencia

La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números naturales.

Ver: Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

$\begin{matrix} a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}$ (Se lee: " $a\;$ elevado a $b\;$ ")

El número $a\;$ se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
El número $b\;$ se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Por convenio, se establece que: $a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;$ .
Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.

Observación:

Cómo se leen las potencias:

Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

La costumbre de decir cuadrado y cubo proviene de la geometría.

bartolomecossio.com

¡Ojo, no confundir!

Ejemplos:

Potencias de números enteros

Actividad 1 Descripción:

Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros.

Actividad 2 Descripción:

Actividades sobre potencias de números enteros.

Signo de la potencia

Signo de la potencia

Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Signo de la potencia

Tutorial (3'23") Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero negativo. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'58") Sinopsis:

1) Completa la tabla. En ella debes indicar la base, el exponente, el valor y la cómo se leen las siguientes potencias de números enteros:

$4^2 \ , \ 6^3 \ , \ 2^6 \ , \ (-5)^2 \ , \ 2^3 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ 8^4$

2) Escribe en forma de potencia:

a) $3 \cdot 3 \;$

b) $(-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \;$

c) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\;$

d) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \;$

3) Escribe cómo se leen las siguientes potencias:

$7^4 \ , \ 2^6 \ , \ 5^2 \ , \ 2^3$

Ejercicio 3 (9'38") Sinopsis:

4) Escribe las siguientes potencias en forma de producto:

$15^2 \ , \ 6^4 \ , \ 8^4$

5) Escribe cada producto en forma de potencia, calcula su valor e indica cuál es la base y el exponente.

$3 \cdot 3 \ , \ 6 \cdot 6 \cdot 6$

6) Calcula:

a) Doce elevado al cuadrado.

b) Once elevado al cubo.

c) Tres elevado a la quinta.

d) Dos elevado a la cuarta.

7) Desarrolla las siguientes potencias:

$(-2)^4 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ (-5)^2$

8) Calcula las siguientes potencias y razona cuánto valen todas las potencias de base 1:

$1^0 \ , \ 1^1 \ , \ 1^2 \ , \ 1^3 \ , \ 1^5 \ , \ 1^{1000}$

Signo de la potencia

Actividad 1 Descripción:

Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros con base positiva o negativa.
Actividad para practicar las potencias de enteros.

Actividad 2 Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $( - 3) 4$ b) $( - 4) 5$ c) $( - 10) 5$ d) $( - 2) 10$

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Actividad 3 Descripción:

Actividad sobre potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación en los que debes determinar el signo de la potencia cuya base es un número entero.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Propiedades de las potencias de enteros

Las potencias de números enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Ver: Propiedades de las potencias de números naturales

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: $a^m \cdot a^n=a^{n+m}$

2. Cociente de potencias de la misma base: $a^m : a^n=a^{m-n}\,\!$

3. Potencia de un producto: $a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n$

4. Potencia de un cociente: $a^n : b^n=(a : b)^n\,\!$

5. Potencia de otra potencia: $(a^m)^n=a^{m \cdot n}$

Propiedades de las potencias de números enteros

Tutorial 1a (6'46") Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

Potencias de exponente 0.
Potencias de exponente 1.
Producto de potencias de la misma base.
Cociente de potencias de la misma base.

Tutorial 1b (5'05") Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

Potencia de otra potencia.
Potencia de un producto.
Potencia de un cociente.

Ejercicio 1 (7'58") Sinopsis:

Calcula:

a) $(-2)^4 \cdot (-2)^3\;$ ; b) $(-6)^9 : (-6)^4\;$

c) $(-8)^2 \cdot (-8)^3\;$ ; d) $(-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)\;$

e) $(-3)^7 : (-3)^4\;$ ; f) $(-2)^5 \cdot (-2)^2\;$

g) $(-7)^{12} : (-7)^{10}\;$ ; h) $(-10)^3 : (-10)^2\;$

Ejercicio 2 (12'23") Sinopsis:

10) Escribe en forma de una sola potencia:

a) $[(-2)^3]^5\;$ ; b) $[(-3)^2]^3\;$

c) $[(-5)^2]^4\;$ ; d) $[(-6)^3]^3\;$

e) $(2^4)^5\;$ ; f) $(3^4)^2\;$

g) $[(-2)^1]^6\;$ ; h) $[(-2)^2]^6\;$

i) $(3^{10})^2\;$ ; j) $(3^2)^{10}\;$

11) Expresa en forma de producto de varias potencias:

a) $[(-3) \cdot (-2) \cdot (-5)]^4\;$

b) $[(-2) \cdot 5 \cdot (-6)]^2\;$

c) $[2 \cdot 7 \cdot 6]^3\;$

a) $[(-2) \cdot (-3) \cdot (-6)]^3\;$

11) Expresa en forma de una sola potencia:

a) $(-2)^3 \cdot (-3)^3 \cdot (-4)^3\;$

b) $(-2)^4 \cdot 3^4\;$

c) $2^6 \cdot 4^6 \cdot 5^6\;$

d) $(-3)^6 \cdot (-10)^6\;$

12) Calcula los cuadrados de los cinco primeros números positivos.

Ejercicio 3 (10'07") Sinopsis:

14) Escribe las cuartas potencias de: -3, -2, -5, 3, 2 y 5.

15) Calcula:

a) $2 \cdot (-3)^2\;$ ; b) $3 \cdot (-2)^2\;$

c) $-1 \cdot (-3)^2\;$ ; d) $-1 \cdot (-2)^2\;$

e) $-2 \cdot (-3)^2\;$ ; f) $-5 \cdot (-5)^2\;$

g) $2 \cdot (-3)^2\;$

Ejercicio 4 (12'24") Sinopsis:

16) Escribe como potencias de base positiva:

$(-3)^2 \ , \ (-3)^3 \ , \ (-5)^2 \ , \ (-5)^3 \ , \ (-7)^2 \ , \ (-7)^3\;$

17) Escribe el resultado como potencia de base positiva:

a) $(-5)^8 : (-5)^5\;$ ; b) $(-10)^5 : (-10)^3\;$

c) $(-20)^5 \cdot (-20)^3\;$ ; d) $(-6)^2 \cdot 6^3\;$

e) $(-3)^4 \cdot 3^2\;$ ; f) $(-2)^5 \cdot 2^3\;$

Ejercicio 5 (2'09") Sinopsis:

Simplifica: $2 a^3 \cdot a^5$

Ejercicio 6 (3'37") Sinopsis:

Simplifica: $\left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2$

Ejercicio 7 (3'42") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3$

Ejercicio 8 (3'40") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}$

Ejercicio 9 (2'47") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}$

Propiedades de las potencias de enteros

Actividad 1: Potencias de productos y cocientes Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de productos y cocientes.

Actividad 2: Producto y cociente de potencias Descripción:

Actividades para aprender a calcular productos y cocientes de potencias.

Actividad 3: Potencia de otra potencia Descripción:

Actividades para aprender a calcular potencias de otra potencia.

Actividad 4: Ejercicios resueltos Descripción:

Ejercicios resueltos sobre las propiedades de las potencias de números entero.

Actividad 5 Descripción:

Actividades sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades de las potencias de números enteros.

Autoevaluación 3

2.1. Potencia de un producto Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.2. Potencia de un cociente Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.3.Potencia de una potencia Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

2.4. Producto de potencias de la misma base Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre potencias de números enteros.

Signo de la potencia

Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Signo de la potencia

Tutorial (3'23") Sinopsis:

Cálculo de potencias cuya base es un número entero negativo. Ejemplos.

Ejercicio 1 (10'58") Sinopsis:

1) Completa la tabla. En ella debes indicar la base, el exponente, el valor y la cómo se leen las siguientes potencias de números enteros:

$4^2 \ , \ 6^3 \ , \ 2^6 \ , \ (-5)^2 \ , \ 2^3 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ 8^4$

2) Escribe en forma de potencia:

a) $3 \cdot 3 \;$

b) $(-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \cdot (-7) \;$

c) $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\;$

d) $(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \;$

3) Escribe cómo se leen las siguientes potencias:

$7^4 \ , \ 2^6 \ , \ 5^2 \ , \ 2^3$

Ejercicio 3 (9'38") Sinopsis:

4) Escribe las siguientes potencias en forma de producto:

$15^2 \ , \ 6^4 \ , \ 8^4$

5) Escribe cada producto en forma de potencia, calcula su valor e indica cuál es la base y el exponente.

$3 \cdot 3 \ , \ 6 \cdot 6 \cdot 6$

6) Calcula:

a) Doce elevado al cuadrado.

b) Once elevado al cubo.

c) Tres elevado a la quinta.

d) Dos elevado a la cuarta.

7) Desarrolla las siguientes potencias:

$(-2)^4 \ , \ (-3)^5 \ , \ (-4)^3 \ , \ (-5)^2$

8) Calcula las siguientes potencias y razona cuánto valen todas las potencias de base 1:

$1^0 \ , \ 1^1 \ , \ 1^2 \ , \ 1^3 \ , \ 1^5 \ , \ 1^{1000}$

Signo de la potencia

Actividad 1 Descripción:

Actividad para aprender a calcular potencias de números enteros con base positiva o negativa.
Actividad para practicar las potencias de enteros.

Actividad 2 Descripción:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $( - 3) 4$ b) $( - 4) 5$ c) $( - 10) 5$ d) $( - 2) 10$

Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Actividad 3 Descripción:

Actividad sobre potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 1 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación en los que debes determinar el signo de la potencia cuya base es un número entero.

Autoevaluación 2 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 3 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Autoevaluación 4 Descripción:

Ejercicios de autoevaluación de potencias cuya base es un número entero.

Propiedades de las potencias de números enteros

Las potencias de enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Propiedades de las potencias de números enteros

Tutorial 1a (6'46") Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

Potencias de exponente 0.
Potencias de exponente 1.
Producto de potencias de la misma base.
Cociente de potencias de la misma base.

Tutorial 1b (5'05") Sinopsis:

Propiedades de las potencias y ejemplos:

Potencia de otra potencia.
Potencia de un producto.
Potencia de un cociente.

Ejercicio 1 (7'58") Sinopsis:

Calcula:

a) $(-2)^4 \cdot (-2)^3\;$ ; b) $(-6)^9 : (-6)^4\;$

c) $(-8)^2 \cdot (-8)^3\;$ ; d) $(-2)^2 \cdot (-2)^3 \cdot (-2)\;$

e) $(-3)^7 : (-3)^4\;$ ; f) $(-2)^5 \cdot (-2)^2\;$

g) $(-7)^{12} : (-7)^{10}\;$ ; h) $(-10)^3 : (-10)^2\;$

Ejercicio 2 (12'23") Sinopsis:

10) Escribe en forma de una sola potencia:

a) $[(-2)^3]^5\;$ ; b) $[(-3)^2]^3\;$

c) $[(-5)^2]^4\;$ ; d) $[(-6)^3]^3\;$

e) $(2^4)^5\;$ ; f) $(3^4)^2\;$

g) $[(-2)^1]^6\;$ ; h) $[(-2)^2]^6\;$

i) $(3^{10})^2\;$ ; j) $(3^2)^{10}\;$

11) Expresa en forma de producto de varias potencias:

a) $[(-3) \cdot (-2) \cdot (-5)]^4\;$

b) $[(-2) \cdot 5 \cdot (-6)]^2\;$

c) $[2 \cdot 7 \cdot 6]^3\;$

a) $[(-2) \cdot (-3) \cdot (-6)]^3\;$

11) Expresa en forma de una sola potencia:

a) $(-2)^3 \cdot (-3)^3 \cdot (-4)^3\;$

b) $(-2)^4 \cdot 3^4\;$

c) $2^6 \cdot 4^6 \cdot 5^6\;$

d) $(-3)^6 \cdot (-10)^6\;$

12) Calcula los cuadrados de los cinco primeros números positivos.

Ejercicio 3 (10'07") Sinopsis:

14) Escribe las cuartas potencias de: -3, -2, -5, 3, 2 y 5.

15) Calcula:

a) $2 \cdot (-3)^2\;$ ; b) $3 \cdot (-2)^2\;$

c) $-1 \cdot (-3)^2\;$ ; d) $-1 \cdot (-2)^2\;$

e) $-2 \cdot (-3)^2\;$ ; f) $-5 \cdot (-5)^2\;$

g) $2 \cdot (-3)^2\;$

Ejercicio 4 (12'24") Sinopsis:

16) Escribe como potencias de base positiva:

$(-3)^2 \ , \ (-3)^3 \ , \ (-5)^2 \ , \ (-5)^3 \ , \ (-7)^2 \ , \ (-7)^3\;$

17) Escribe el resultado como potencia de base positiva:

a) $(-5)^8 : (-5)^5\;$ ; b) $(-10)^5 : (-10)^3\;$

c) $(-20)^5 \cdot (-20)^3\;$ ; d) $(-6)^2 \cdot 6^3\;$

e) $(-3)^4 \cdot 3^2\;$ ; f) $(-2)^5 \cdot 2^3\;$

Ejercicio 5 (2'09") Sinopsis:

Simplifica: $2 a^3 \cdot a^5$

Ejercicio 6 (3'37") Sinopsis:

Simplifica: $\left( \cfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{6 \cdot 2} \right)^2$

Ejercicio 7 (3'42") Sinopsis:

Simplifica: $\left[ \cfrac{(8^2 \cdot 8) \cdot (6^7 \cdot 6)^2}{(8^3)^3 \cdot (6^3)^0 \cdot 6^3} \right]^3$

Ejercicio 8 (3'40") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{(3x^2y)^5}{3x^4y^7}$

Ejercicio 9 (2'47") Sinopsis:

Simplifica: $\cfrac{2^{16}}{2^{13}}+\cfrac{5^3 \cdot 3^8}{5^2 \cdot 3^6}$

Potencias de fracciones

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

Ejemplos:

Pulsa los botones para obtener ejemplos de cada tipo:

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Tan sólo queda añadir el siguiente caso:

Potencias de exponente negativo

Sea $n \in \mathbb{N}$ , se define la potencia de exponente negativo como:

$a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}$

Como consecuencia, $\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}$ .

Ejemplos:

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Actividad Interactiva: Potencias de exponente negativo

Actividad 1. Potencias de exponente negativo.

Actividad:

Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:

a) $3 - 5$ b) $5 - 3$ c) $7 - 2$ d) $2 - 7$

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Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.

Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.

Actividad 2. Autoevaluación.

Actividad:

Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien.

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Ejercicios

Actividad Interactiva: Operaciones con potencias

Actividad 1. Autoevaluación: Operaciones con potencias de enteros y racionales.

Actividad:

Pulsa el botón EJERCICIO para ver el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena (de forma que la base no sea una potencia) y pulsas el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.

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Actividades Interactivas: Propiedades de las potencias

Actividad 1: Producto de potencias.

Actividad:

Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de potencia:

$a)\ 2^3 \cdot 2^7 \quad b)\ 3^5 \cdot 3^3 \quad c)\ 5^5 \cdot 5^3 \quad d)\ 2^{-3} \cdot 2^5 \quad e)\ 3^{-5} \cdot 3^{-3} \quad f)\ 5^{-5} \cdot 5^3$
Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

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Actividad 2: Cociente de potencias.

Actividad:

Escribe en tu cuaderno los siguientes cocientes en forma de potencia:

$a)\ \frac{2^7}{2^3} \quad b)\ \frac{3^5}{3^3} \quad c)\ \frac{5^3}{5^3} \quad d)\ \frac{2^7}{2^{-3}} \quad e)\ \frac{3^{-2}}{3^2} \quad f)\ \frac{5^{-4}}{5^{-3}}$
Comprueba tus resultados en la siguiente escena.

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Actividad 3: Potencia de un producto.

Actividad:

Expresa en forma de producto de potencias los siguientes expresiones:

$a)\ (2 \cdot 5)^6 \quad b)\ (3 \cdot 4)^2 \quad c)\ (2 \cdot 8)^3 \quad d)\ (4 \cdot 6)^4 \quad e)\ (2 \cdot 5)^{-2} \quad f)\ (3 \cdot 2)^{-3} \quad g)\ (2 \cdot 5)^{-3}$
Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.

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Actividad 4: Potencia de un cociente.

Actividad:

Expresa en forma de cociente de potencias los siguientes expresiones:

$a)\ \left( \frac{8}{2} \right )^6 \quad b)\ \left( \frac{8}{4} \right )^2 \quad c)\ \left( \frac{10}{5} \right )^3 \quad d)\ \left( \frac{8}{4} \right )^{-2} \quad e)\ \left( \frac{10}{5} \right )^{-3} \quad f)\ \left( \frac{9}{3} \right )^{-4}$
Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.

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Actividad 5: Potencia de una potencia.

Actividad:

Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias en forma de potencia con un solo exponente:

$a)\ (2^3)^7 \quad b)\ (3^5)^3 \quad c)\ (5^5)^3 \quad d)\ (2^{-3})^2 \quad e)\ (3^3)^{-2} \quad f)\ (5^{-2})^{-3}$
Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente.

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Actividad Interactiva: Potencias

Actividad 1. Juegos.

Actividad:

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Ejercicios: Potencias de naturales

1. Simplifica:

a) $(x^2)^5\,\!$ b) $x^3 \cdot x^4 \cdot x^2$ c) $(x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x$

Solución:

a) $x^{10}\,\!$ b) $x^9\,\!$ c) $x^{15}\,\!$

2. Simplifica:

a) $\cfrac{3^5}{3^2}$ b) $\cfrac{5^4}{5^2}$ c) $\cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}$

Solución:

a) $3^3\,\!$ b) $5^2\,\!$ c) $2^2 \cdot 5^2$

Ejercicios: Potencias de enteros

1. Calcula:

a) $(-2)^3 \,\!$ b) $-2^4 \,\!$ c) $(-2)^6 \,\!$ d) $(-1)^{10} \,\!$ e) $(-1)^{11}\,\!$ f) $-2^0 \,\!$

Solución:

a) -8 b) -16 c) 64 d) 1 e) -1 f) -1

Ejercicios: Potencias de fracciones

1. Simplifica y expresa en forma de fracción:

a) $\cfrac{-5^2}{5^5}$ b) $\cfrac{0,001}{10^2}$ c) $\cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}$

Solución:

a) $-\cfrac{1}{125}$ b) $\cfrac {1}{100.000}$ c) $\cfrac{a^2}{b}$

2. Simplifica:

a) $\left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3$ b) $\left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2$ c) $\left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}$

Solución:

a) $-\cfrac{1}{125}$ b) $81 \;\!$ c) $-\cfrac{1}{3}$

3. Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

$a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2} \quad b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4} \quad c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}$

Solución:

$a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2}= \frac{(2.3)^3.(2^3)^4}{1.3^3.2^6}= \frac{2^3.3^3.2^{12}}{3^3.2^6}= \frac{2^{15}.3^3}{3^3.2^6}=2^9$

$b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4}= \frac{(5^2)^3.3^{-2}}{(3.5)^4.3^{-3}.5^4}= \frac{5^6.3^{-2}}{3^4.5^4.3^{-3}.5^4}= \frac{5^6.3^{-2}}{3.5^8}= 5^{-2}.3^{-3}= \frac{1}{5^2.3^3}$

$c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}= \frac{(2.5)^3.2^4.5^2}{2^2.5^2.2^3.5^2}= \frac{2^7.5^5}{2^5.5^4}=2^2.5$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Potencias"

Categorías: Matemáticas | Números

 {{p}}
-==Potencias de enteros==
+{{Potencias de números enteros}}
-Las potencias de enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.
-{{Caja Amarilla|texto='''Potencia de base negativa:'''<br>
-Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.
-}}
 {{p}}
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
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-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Potencias de números enteros''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
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-|actividad=
-Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:
-a) <math>(-3)^4</math>{{b}}b) <math>(-4)^5</math>{{b}}c) <math>(-10)^5</math>{{b}}d) <math>(-2)^{10}</math>
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-Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente.
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.
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-}}
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 ==Potencias de fracciones==
 Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.{{p}}

Potencias

De Wikipedia

Revisión de 08:27 15 ene 2009

Tabla de contenidos

Potencias de números naturales

Propiedades de las potencias de naturales

Actividades

Potencias de números enteros

Definición de potencia

Signo de la potencia

Propiedades de las potencias de enteros

Propiedades de las potencias de números enteros

Potencias de fracciones

Potencias de exponente negativo

Ejercicios

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