Porcentajes

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Tabla de contenidos

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1 Definición de porcentaje
2 Representación de los porcentajes
3 Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad
4 Obtención del porcentaje correspondiente a una proporción
5 Aumentos y disminuciones porcentuales
6 Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final
7 Encadenamiento de variaciones porcentuales

Definición de porcentaje

Un porcentaje es una razón entre un número n y 100 y representa las partes que tomamos de un total de 100.
Se representa escribiendo el número seguido del símbolo %, esto es:

$n% = \cfrac{n}{100}$ (se lee " $n\;$ por ciento")

Ejemplos [Mostrar]

Representación de los porcentajes

Podemos representar gráficamente estos porcentajes igual que se hace con las fracciones.

Actividades Interactivas: Representación de porcentajes

Actividad 1. En la siguiente escena se pueden representar porcentajes.

Actividad:[Mostrar]

Cálculo de un tanto por ciento de una cantidad

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad, se expresa el tanto por ciento en forma decimal (dividiéndolo por 100) y se multiplica por la cantidad.

$El \ n% \ de \ C = \cfrac{n}{100} \cdot C$

Ejemplo: Cálculo de un porcentaje

Calcula el 16% de 2000.

Solución:[Mostrar]

Método 1: A partir de la definición de pordentaje:

El 16% de 2000 $= \frac{16}{100} \cdot 2000=0,16 \cdot 2000=320$

Método 2: Mediante una regla de tres

  100% ----> 2000
   16% ---->   x

Y despejando $x\;\!$ :

$x=\frac{16 \cdot 2000}{100}= 320$

Actividades Interactivas: Cálculo de porcentajes

Actividad 1. Calcula los siguientes porcentajes en tu cuaderno y luego comprueba los resultados en la escena.

a) 10% de 43; b) 60% de 200; c) 50% de 40; d) 5% de 1000; e) 25% de 400.

Actividad:[Mostrar]

Actividad 2. Calcula mentalmente.

Actividad:[Mostrar]

Ejemplo: Cálculo de la cantidad total a partir del porcentaje

Si en una clase hay 5 alumnos rubios, y representan el 20% de la clase, ¿cuántos alumnos hay en total?

Solución:[Mostrar]

Método 1: A partir de la definición de pordentaje:

Si llamamos $C\;\!$ al total de alumnos de la clase:

$5=\frac{20}{100} \cdot C$

Y despejando $C\;\!$ :

$C=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Método 2: Mediante una regla de tres

   20% ----> 5 alumnos
  100% ----> x alumnos

Y despejando $x\;\!$ :

$x=\frac{5 \cdot 100}{20}= 25 \ alumnos$

Obtención del porcentaje correspondiente a una proporción

Procentaje correspondiente a una proporción

Para hallar qué tanto por ciento representa una cantidad, $a\;\!$ , repecto a un total, $C\;\!$ , se efectúa la siguiente operación:

$\frac{a}{C}\cdot 100$

Ejemplo: Porcentaje correspondiente a una proporción

En un grupo del instituto, de 30 alumnos aprueban 21. ¿Qué porcentaje del total representan los aprobados?. ¿Y los suspensos?

Solución:[Mostrar]

$\frac{21}{30}\cdot 100=0,7 \cdot 100=70$

Por tanto el 70% aprueban y el 30% suspenden.

También podemos hacerlo mediante una regla de tres:

                      %          alumnos
                    ----         -------
 Total:              100   ---->   30 
 Parte (aprobados):   x    ---->   21

$x=\frac{21 \cdot 100}{30}=70$

Cálculo del porcentaje conocida una parte y el total [Mostrar]

Aumentos y disminuciones porcentuales

Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una cierta cantidad de partida.
Una disminución porcentual es quitar un porcentaje a una cierta cantidad de partida.

A la cantidad de partida la llamaremos cantidad inicial y al resultado cantidad final.

Proposición

En un aumento/disminución porcentual, se cumple:

$C_F = C_I \cdot I_V$

siendo $C_F\;$ = Cantidad final, $C_I\;$ = Cantidad inicial e $I_V\;$ = Indice de variación.

En aumentos porcentuales del n%:

$C_F = C_I \cdot \left(1+\cfrac{n}{100} \right)$

En una disminuciones porcentuales del n%:

$C_F = C_i \cdot \left(1-\cfrac{n}{100}\right)$

Demostración:[Mostrar]

Observación: [Mostrar]

Ejemplo: Aumento y disminución porcentual

a) Un litro de leche de 0,95 € aumenta su precio en un 12% ¿Cuánto vale ahora?

b) Unas zapatillas de 120 € se rebajan un 15% ¿Cuál es el valor final?

Solución:[Mostrar]

Aumentos y disminuciones porcentuales [Mostrar]

Aumentos porcentuales:

Actividad 1 Descripción: [Mostrar]

Actividad 2 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación Descripción: [Mostrar]

Disminuciones porcentuales:

Actividad 1 Descripción: [Mostrar]

Actividad 2 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 Descripción: [Mostrar]

Aumentos y disminuciones porcentuales:

Autoevaluación 1 Descripción: [Mostrar]

Autoevaluación 2 Descripción: [Mostrar]

Calculo de la cantidad inicial conociendo la variación porcentual y la cantidad final

Proposición

La cantidad inicial se calcula dividiendo la cantidad final por el índice de variación:

$C_I = \cfrac{C_F}{I_V}$

Demostración:[Mostrar]

Ejemplo: Cálculo de la cantidad inicial

a) El precio de una moto es de 2800 €. ¿Cuál era el precio de fábrica antes de aplicarle el 16 % de aumento por el IVA?.

b) En las rebajas has comprado unas zapatillas de 90 €, con un descuento del 28 %. ¿Cuánto valía antes de la rebaja?

Solución:[Mostrar]

Encadenamiento de variaciones porcentuales

Para encadenar aumentos y disminuciones porcentuales, se multiplican los índices de variación de los sucesivos pasos, siendo el producto el índice de variación del encadenamiento

Ejemplo: Encadenamiento porcentual

El precio de un litro de gasoil era de 102 céntimos de € en el mes de Junio. Subió un 3% en el mes de Agosto y un 4% en el mes de Septiembre.

a) Calcula el precio final tras las dos subidas.

b) ¿Ha subido un 3+4=7%?. ¿Qué porcentaje a subido?

Solución:[Mostrar]

Problemas: Encadenamiento porcentual

1. El precio de un libro, 12 €, primero sube el 5 %, después sube el 10 % y, finalmente, baja el 15 %.

a) ¿Cuál es su precio final? ¿Es igual que el inicial?

b) ¿Cúal es el índice de variación total, y a qué porcentaje de aumento o de disminución corresponde?

Solución:[Mostrar]

2. Según un artículo de un periódico, a unos trabajadores en el año 2002 se les sube el sueldo un 2%, en el 2003 el 3%, en el 2004 el 4% y los dos siguientes el 1%. ¿Es cierta la afirmación que en los 5 últimos años, a los trabajadores se les ha subido el sueldo un 2 + 3 + 4 + 1 + 1 = 11%?

Solución:[Mostrar]

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Categorías: Matemáticas | Números