Potencias

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-==Potencias de enteros==+{{Potencias de números enteros}}
-Las potencias de enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.+
-{{Caja Amarilla|texto='''Potencia de base negativa:'''<br>+
-Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.+
-}}+
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-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido= 
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
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-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Potencias de números enteros''|cuerpo= 
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-|enunciado='''Actividad 1.''' Potencias de base negativa. 
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-Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente: 
-a) <math>(-3)^4</math>{{b}}b) <math>(-4)^5</math>{{b}}c) <math>(-10)^5</math>{{b}}d) <math>(-2)^{10}</math>  
- 
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-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias31_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. 
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados. 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
==Potencias de fracciones== ==Potencias de fracciones==
Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.{{p}} Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.{{p}}

Revisión de 08:27 15 ene 2009

Tabla de contenidos

Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix}  a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.



Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

Calculadora

Calculadora: Potencias


Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Propiedades de las potencias de naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias


1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

Actividades

Potencias de números enteros

Los siguientes videotutoriales condensan lo que vamos a ver en este apartado sobre potencias de números enteros:


Definición de potencia

La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números naturales.

Ver: Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix}  a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.



Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

Signo de la potencia

ejercicio

Signo de la potencia


Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

  • Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
  • Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Propiedades de las potencias de enteros

Las potencias de números enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Ver: Propiedades de las potencias de números naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias


1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

ejercicio

Signo de la potencia


Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

  • Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
  • Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Propiedades de las potencias de números enteros

Las potencias de enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Potencias de fracciones

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

Tan sólo queda añadir el siguiente caso:

Potencias de exponente negativo

Sea n \in \mathbb{N}, se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}

Como consecuencia, \left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}.

ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias de exponente negativo


Actividad 1. Potencias de exponente negativo.
Actividad 2. Autoevaluación.

Ejercicios

ejercicio

Actividad Interactiva: Operaciones con potencias


Actividad 1. Autoevaluación: Operaciones con potencias de enteros y racionales.

ejercicio

Actividades Interactivas: Propiedades de las potencias


Actividad 1: Producto de potencias.
Actividad 2: Cociente de potencias.
Actividad 3: Potencia de un producto.
Actividad 4: Potencia de un cociente.
Actividad 5: Potencia de una potencia.
ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias


Actividad 1. Juegos.
ejercicio

Ejercicios: Potencias de naturales


1. Simplifica:

a) (x^2)^5\,\! b) x^3 \cdot x^4 \cdot x^2 c) (x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x

2. Simplifica:

a) \cfrac{3^5}{3^2} b) \cfrac{5^4}{5^2} c) \cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}

ejercicio

Ejercicios: Potencias de enteros


1. Calcula:

a) (-2)^3 \,\! b) -2^4 \,\! c) (-2)^6 \,\! d) (-1)^{10} \,\! e) (-1)^{11}\,\! f) -2^0 \,\!

ejercicio

Ejercicios: Potencias de fracciones


1. Simplifica y expresa en forma de fracción:

a) \cfrac{-5^2}{5^5} b) \cfrac{0,001}{10^2} c) \cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}

2. Simplifica:

a) \left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3 b) \left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2 c) \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}

3. Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2} \quad b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4} \quad c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}


Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda