Potencias

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-{{Menú Matemáticas 3ESO+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
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-|repasar=[http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Potencias/ Potencias]<br>[http://maralboran.org/web_ma/presentaciones/POTENCIASRAICES.ppt Potencias y Raíces I]<br>[[Potencias y Raíces (1º ESO)|Potencias y raíces II]]+|repasar=
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}} }}
Línea 7: Línea 7:
{{Potencias de números naturales}} {{Potencias de números naturales}}
{{p}} {{p}}
- 
{{Potencias de números enteros}} {{Potencias de números enteros}}
{{p}} {{p}}
- +{{Potencias de números fraccionarios}}
-==Potencias de fracciones==+
-Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.{{p}} +
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=Pulsa los botones para obtener ejemplos de cada tipo:{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_1.html+
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
{{p}} {{p}}
-<center><iframe>+===Actividades===
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_2.html+{{Actividades potencias de racionales con exponente entero}}
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
{{p}} {{p}}
-Tan sólo queda añadir el siguiente caso: 
-===Potencias de exponente negativo=== 
-{{Caja Amarilla|texto= 
-Sea <math>n \in \mathbb{N}</math>, se define la potencia de exponente negativo como:  
-{{Caja|contenido=<math>a^{-n}=\cfrac{1}{a^n}</math>}} 
-Como consecuencia, <math>\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n}</math>.}} 
-{{p}} 
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido= 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias1_2.html 
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-height=170 
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-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias1_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-{{p}} 
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Potencias de exponente negativo''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1.''' Potencias de exponente negativo. 
-|actividad= 
-Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente: 
- 
-a) <math>3^{-5}</math>{{b}}b) <math>5^{-3}</math>{{b}}c) <math>7^{-2}</math>{{b}}d) <math>2^{-7}</math>  
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias31_2.html 
-width=450 
-height=250 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias31_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente. 
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados. 
- 
-Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba.  
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 2.''' Autoevaluación. 
-|actividad= 
-Pulsa el botón "EJERCICIO" y lee atentamente el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena y pulsas el botón "SOLUCIÓN" para ver si lo has hecho bien. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias1_3.html 
-width=630 
-height=260 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias1_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-}} 
-{{p}} 
==Ejercicios== ==Ejercicios==
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Operaciones con potencias''|cuerpo=+{{ejercicios resueltos con potencias}}
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1.''' Autoevaluación: Operaciones con potencias de enteros y racionales.+
-|actividad=+
-Pulsa el botón EJERCICIO para ver el enunciado. Lo haces en tu cuaderno, escribes la solución en la escena (de forma que la base no sea una potencia) y pulsas el botón SOLUCIÓN para ver si lo has hecho bien.+
-{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_3.html+
-width=640+
-height=335+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Potencias_mac/potencias2_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Propiedades de las potencias''+
-|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Producto de potencias.+
-|actividad=Escribe en tu cuaderno los siguientes productos en forma de potencia: +
-<math>a)\ 2^3 \cdot 2^7 \quad b)\ 3^5 \cdot 3^3 \quad c)\ 5^5 \cdot 5^3 \quad d)\ 2^{-3} \cdot 2^5 \quad e)\ 3^{-5} \cdot 3^{-3} \quad f)\ 5^{-5} \cdot 5^3+
-</math> 
-<br> 
-Comprueba tus resultados en la siguiente escena. 
-<br> 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/producto.html 
-width=100% 
-height=250 
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-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/producto.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 2:''' Cociente de potencias. 
-|actividad=Escribe en tu cuaderno los siguientes cocientes en forma de potencia:  
-<math>a)\ \frac{2^7}{2^3} \quad b)\ \frac{3^5}{3^3} \quad c)\ \frac{5^3}{5^3} \quad d)\ \frac{2^7}{2^{-3}} \quad e)\ \frac{3^{-2}}{3^2} \quad f)\ \frac{5^{-4}}{5^{-3}} 
-</math> 
-<br> 
-Comprueba tus resultados en la siguiente escena. 
-<br> 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/cociente.html 
-width=100% 
-height=350 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/cociente.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 3:''' Potencia de un producto. 
-|actividad=Expresa en forma de producto de potencias los siguientes expresiones: 
-<math>a)\ (2 \cdot 5)^6 \quad b)\ (3 \cdot 4)^2 \quad c)\ (2 \cdot 8)^3 \quad d)\ (4 \cdot 6)^4 \quad e)\ (2 \cdot 5)^{-2} \quad f)\ (3 \cdot 2)^{-3} \quad g)\ (2 \cdot 5)^{-3} 
- 
-</math> 
-<br> 
-Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente. 
-<br> 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciaproducto.html 
-width=100% 
-height=350 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciaproducto.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 4:''' Potencia de un cociente. 
-|actividad=Expresa en forma de cociente de potencias los siguientes expresiones:  
-<math>a)\ \left( \frac{8}{2} \right )^6 \quad b)\ \left( \frac{8}{4} \right )^2 \quad c)\ \left( \frac{10}{5} \right )^3 \quad d)\ \left( \frac{8}{4} \right )^{-2} \quad e)\ \left( \frac{10}{5} \right )^{-3} \quad f)\ \left( \frac{9}{3} \right )^{-4} 
-</math> 
-<br> 
-Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente. 
-<br> 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciacociente.html 
-width=100% 
-height=350 
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-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciacociente.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 5:''' Potencia de una potencia. 
-|actividad=Escribe en tu cuaderno las siguientes potencias en forma de potencia con un solo exponente:  
-<math>a)\ (2^3)^7 \quad b)\ (3^5)^3 \quad c)\ (5^5)^3 \quad d)\ (2^{-3})^2 \quad e)\ (3^3)^{-2} \quad f)\ (5^{-2})^{-3} 
- 
-</math> 
-<br> 
-Calcula la solución en tu cuaderno y compruébalo en la escena siguiente. 
-<br> 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciapotencia.html 
-width=100% 
-height=350 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/wiki3eso/numeros/potencias/escenaspotencias/potenciapotencia.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-}} 
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Potencias'' 
-|cuerpo= 
- 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1.''' Juegos. 
-|actividad= 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/juegos.htm 
-width=100% 
-height=675 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/potencia/juegos.htm '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-}} 
-{{ejercicio 
-|titulo=Ejercicios: ''Potencias de naturales'' 
-|cuerpo= 
- 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
- 
-'''1. '''Simplifica: 
- 
-:a) <math>(x^2)^5\,\!</math>{{b}}b) <math>x^3 \cdot x^4 \cdot x^2</math>{{b}}c) <math>(x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x</math> 
-{{p}} 
-|sol= 
-a) <math>x^{10}\,\!</math>{{b}}b) <math>x^9\,\!</math>{{b}}c) <math>x^{15}\,\!</math> 
- 
-}} 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
- 
-'''2. '''Simplifica: 
- 
-:a) <math>\cfrac{3^5}{3^2}</math>{{b}}b) <math>\cfrac{5^4}{5^2}</math>{{b}}c) <math>\cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}</math> 
-<p></p> 
-|sol= 
-a) <math>3^3\,\!</math>{{b}}b) <math>5^2\,\!</math>{{b}}c) <math>2^2 \cdot 5^2</math> 
-}} 
-}} 
-{{ejercicio 
-|titulo=Ejercicios: ''Potencias de enteros'' 
-|cuerpo= 
- 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-'''1. '''Calcula: 
-:a) <math>(-2)^3 \,\!</math>{{b}}b) <math>-2^4 \,\!</math>{{b}}c) <math>(-2)^6 \,\!</math>{{b}}d) <math>(-1)^{10} \,\!</math>{{b}}e) <math>(-1)^{11}\,\!</math>{{b}}f) <math>-2^0 \,\!</math> 
-{{p}} 
-|sol= 
-a) -8{{b}}b) -16{{b}}c) 64{{b}}d) 1{{b}}e) -1{{b}}f) -1  
-}} 
-}} 
-{{ejercicio 
-|titulo=Ejercicios: ''Potencias de fracciones'' 
-|cuerpo= 
- 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
- 
-'''1. '''Simplifica y expresa en forma de fracción: 
-:a) <math>\cfrac{-5^2}{5^5}</math>{{b}}b) <math>\cfrac{0,001}{10^2} </math>{{b}}c) <math>\cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}</math> 
-{{p}} 
-|sol= 
-a) <math>-\cfrac{1}{125}</math>{{b}}b) <math>\cfrac {1}{100.000}</math>{{b}}c) <math>\cfrac{a^2}{b}</math> 
- 
-}} 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
- 
-'''2. '''Simplifica: 
-:a) <math>\left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3</math>{{b}}b) <math>\left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2</math>{{b}}c) <math>\left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}</math> 
-{{p}} 
-|sol= 
-a) <math>-\cfrac{1}{125}</math>{{b}}b) <math>81 \;\!</math>{{b}}c) <math>-\cfrac{1}{3}</math> 
- 
-}} 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado='''3.''' Calcula utilizando las propiedades de las potencias: 
-<br> 
-{{p}} 
-<math>a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2} \quad b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4} \quad c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25} 
-</math> 
-<br> 
-|sol= 
-<math>a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2}= \frac{(2.3)^3.(2^3)^4}{1.3^3.2^6}= \frac{2^3.3^3.2^{12}}{3^3.2^6}= \frac{2^{15}.3^3}{3^3.2^6}=2^9  
-</math> 
-<br> 
-<math> 
-b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4}= \frac{(5^2)^3.3^{-2}}{(3.5)^4.3^{-3}.5^4}= \frac{5^6.3^{-2}}{3^4.5^4.3^{-3}.5^4}= \frac{5^6.3^{-2}}{3.5^8}= 5^{-2}.3^{-3}= \frac{1}{5^2.3^3} 
-</math> 
-<br> 
- 
-<math> 
-c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}= \frac{(2.5)^3.2^4.5^2}{2^2.5^2.2^3.5^2}= \frac{2^7.5^5}{2^5.5^4}=2^2.5 
-</math> 
- 
-}} 
-}} 
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix}  a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.



Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

Calculadora

Calculadora: Potencias


Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Propiedades de las potencias de naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias


1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

Actividades

Potencias de números enteros

Los siguientes videotutoriales condensan lo que vamos a ver en este apartado sobre potencias de números enteros:


Definición de potencia

La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números naturales.

Ver: Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix}  a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.



Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

Signo de la potencia

ejercicio

Signo de la potencia


Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

  • Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
  • Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Propiedades de las potencias de enteros

Las potencias de números enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Ver: Propiedades de las potencias de números naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias


1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

ejercicio

Signo de la potencia


Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

  • Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
  • Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Propiedades de las potencias de números enteros

Las potencias de enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Potencias de números racionales

Las potencias cuya base es un número racional se definen de la misma manera que las que tienen como base un número entero.

Potencias de exponente negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}

Como consecuencia:

ejercicio

Propiedad


\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)
.


Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números naturales y enteros.

Actividades

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios: Operaciones con potencias


Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

a)\ \frac{6^3 \cdot 8^4}{3^0 \cdot 3^3 \cdot 2^4 \cdot 2^2} \quad b)\ \frac{25^3 \cdot 3^{-2}}{15^4 \cdot 3^{-3} \cdot 5^4} \quad c)\ \frac{10^3 \cdot 16 \cdot 5^2}{100 \cdot 8 \cdot 25}

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda