Números racionales

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Tabla de contenidos

Números racionales

Los números enteros son útiles para contar u ordenar objetos, pero hay veces en las que es necesario dividir la unidad en partes iguales para poder expresar una medida: la mitad, la tercera parte, etc. Estas medidas se expresan por medio de fracciones.

  • Una fracción es una expresión de la forma \frac{a}{b}\;, o bien, a/b\;, donde a\; y b\; son números enteros, siendo b \ne 0 \;.
  • Al número a\; lo llamaremos numerador y al número b\;, denominador.



El valor de una fracción es el resultado de dividir numerador entre denominador. Según su valor, una fracción pueden ser:

  • Un número entero: Si el resultado de hacer la división es exacto.
  • Un número fraccionario: Si el resultado de hacer la división no es exacto.



El conjunto de los números racionales es el conjunto de todas las fracciones:

\mathbb{Q} = \lbrace \cfrac {a}{b}\; / \; a,b \in \mathbb{Z}, \, b \ne 0 \rbrace

Fracciones propias e impropias

¿Qué pasa si el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se interpreta el hecho de tomar más partes de la unidad de las que que hay?

Vamos a dar respuesta a estas preguntas a continuación, pero primero necesitamos ver los conceptos de fracción propia e impropia.

  • Fracciones propias son aquellas cuyo numerador (en valor absoluto) es menor que el denominador (en valor absoluto). Su valor absoluto es menor que 1.
  • Fracciones impropias son aquellas que no son propias. Su valor absoluto es mayor que 1.

Forma mixta de una fracción

Las fracciones impropias representan algo mayor que el todo, es decir, cuando trabajamos con una fracción impropia damos a entender que tenemos unidades completas de algo y, posiblemente, alguna unidad incompleta.

Esto queda de manifiesto en la proposición y en los ejemplos que damos a continuación.

ejercicio

Proposición


Toda fracción impropia, \cfrac{D}{d}\;, se puede escribir como suma de un número entero y una fracción propia.     

\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}

    

donde c\;\! es el cociente y r\;\! es el resto de la división de D\;\! entre d\;\!.

Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta
Aumentar
Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta
\cfrac{10}{8}= 1 +\cfrac{2} {8} > 1

Números mixtos

Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia como un número entero más una fracción propia, en la que se omite el signo de suma.

a \begin{matrix} \frac{b}{c} \end{matrix}=a+\cfrac{b}{c} \ \ ,\  (b<c)



Calculadora

Calculadora: Fracciones mixtas


A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta usaremos la tecla Fracción.
B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos otra vez Fracción.

Representación de fracciones en la recta numérica

La representación de números enteros en la recta es algo muy sencillo. Como los enteros son "completos", la distancia entre dos consecutivos siempre es la misma, por lo que basta con escoger esa distancia para nuestra representación. Así, sí quisiésemos situar el número 7, por ejemplo, sólo tendríamos que contar siete saltos hacia la derecha desde el 0. Si quisiésemos representar un número negativo, los saltos serían hacia la izquierda del 0.

Sin embargo, para las fracciones no resulta tan sencillo, porque pueden representar cantidades que no son "completas" y hay que tener mucho cuidado con las distancias que se marcan.

Entonces, ¿cómo representamos una fracción en la recta? Para las fracciones propias es muy sencillo y para las impropias, basta con descomponerlas en parte entera más fracción propia.

ejercicio

Representación de fracciones en la recta numérica


  • Si la fracción representa un número entero (el cociente entre numerador y denominador es exacto), la representaremos como tal. (Ver: Números enteros).
  • Si la fracción es propia y positiva, se divide el segmento unidad de extremos 0 y 1, en tantas partes iguales como indique el denominador y contamos, desde el 0 hacia la derecha, tantas de esas partes iguales como indique el numerador.
  • Si la fracción es propia y negativa, se divide el segmento unidad de extremos -1 y 0, en tantas partes iguales como indique el denominador y contamos, desde el 0 hacia la izquierda, tantas de esas partes iguales como indique el numerador.
  • Si la fracción es impropia y positiva, se expresa en la forma a+\cfrac{b}{c}\; ("valor entero" + "fracción propia") y dividimos el segmento de extremos a y a+1 en c partes iguales y contamos, desde el punto a, hacia la derecha, b de esas partes iguales.
  • Si la fracción es impropia y negativa, se expresa en la forma -a-\cfrac{b}{c}\; ("-valor entero positivo" - "fracción propia de números positivos") y dividimos el segmento de extremos -(a+1) y -a en c partes iguales y contamos, desde el punto -a, hacia la izquierda, b de esas partes iguales.



ejercicio

Ejemplo: Representación de fracciones en la recta numérica


Representa las fracciones:

-\cfrac{5}{2}, -\cfrac{1}{2}, \cfrac{10}{7}, \cfrac{23}{5}

Fracciones equivalentes

El siguiente videotutorial condensa todo lo visto en este apartado sobre fracciones equivalentes:

Plantilla:Fracciones equivalentes

Plantilla:Actividades fracciones equivalentes

Simplificación de fracciones

  • Simplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente con el numerador y denominador menores que los de partida.
  • Cuando una fracción no se puede simplificar se dice que es irreducible.

ejercicio

Procedimiento: Simplificación


  • Para simplificar fracciones se divide numerador y denominador por un mismo número, distinto de 0 y 1. Este proceso se puede repetir hasta hacer la fracción irreducible.
  • Si queremos hacer la fracción irreducible en un solo paso debemos dividir numerador y denominador por el m.c.d. de ambos.

La simplificación de fracciones me proporciona un método para saber si dos fracciones son equivalentes.

ejercicio

Procedimiento


Si al simplificar dos fracciones se obtiene la misma fracción irreducible, entonces las dos fracciones son equivalentes.

Recucir fracciones a común denominador

Plantilla:Reducir fracciones a común denominador

Ordenación de fracciones

Una forma de comparar fracciones consistía en calcular su valor numérico, efectuando la división. A continuación vamos a ver otras formas distintas de hacerlo. Distinguiremos los siguientes casos:

Caso 1: Las fracciones tienen numeradores o denominadores iguales

En algunos casos es fácil comparar dos fracciones sin necesidad de hacer la división. Esto será posible si ambas fracciones tienen los numeradores o denominadores iguales.

ejercicio

Comparar fracciones con numeradores o denominadores iguales


  • De dos fracciones con el mismo denominador, es mayor la de mayor numerador.
  • De dos fracciones con el mismo numerador, es mayor la de menor denominador.

Caso 2: Las fracciones tienen numeradores y denominadores distintos

Veamos ahora un procedimiento para los casos en que no sean iguales ni los numeradores ni los denominadores. Lo que haremos será reducirlas a común denominador.

En la animación anterior, cuando los denominadores son distintos, no podemos comparar las piezas coloreadas de verde, pues son de tamaños distintos. Al cambiar los denominadores por 12, sí podemos hacer la comparación. Además, 12 no es un denominador cualquiera, es el mínimo común múltiplo de 3 y 4. Se podría usar cualquier otro múltiplo común, pero lo normal es usar el menor posible para no trabajar con números muy grandes.

ejercicio

Ordenar fracciones


  • Para ordenar fracciones con distinto denominador debemos primero reducirlas a común denominador.
  • Una vez reducidas a común denominador, será mayor la de mayor numerador.

ejercicio

Ejemplo: Ordenar fracciones


Ordena las siguientes fracciones: \cfrac{4}{6} \, , \ \cfrac{3}{4}  \, \ y \ \cfrac{1}{2}

Actividades

Operaciones con fracciones

Suma y resta de fracciones

ejercicio

Procedimiento: Suma de fracciones


Para sumar o restar fracciones:

  • Si las fracciones son homogéneas (mismo denominador), se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
  • Si son heterogéneas (distinto denominador), primero se reducen a común denominador y luego se procede como en el caso anterior.





ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de fracciones


Calcula: 2+\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}

Multiplicación y división de fracciones

Multiplicación de fracciones

ejercicio

Procedimiento: Multiplicación de fracciones


Para multiplicar fracciones, se pone como numerador, el producto de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.

\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot c}{b \cdot d}





ejercicio

Ejemplo: Multiplicación de fracciones


Calcula: \cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}

División de fracciones

ejercicio

Procedimiento: División de fracciones


Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

El resultado es otra fracción, cuyo numerador, es el producto del primer numerador por el segundo denominador, y cuyo denominador es el producto del primer denominador por el segundo numerador.

\cfrac{a}{b} : \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot d}{b \cdot c}





ejercicio

Ejemplo:


Calcula: \cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}

Operaciones combinadas con fracciones

A la hora de operar con fracciones seguiremos las mismas pautas que con números enteros:

Ver: Jerarquía de las operaciones con números enteros

ejercicio

Jerarquía de las operaciones


A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias y las raíces.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
  3. Las sumas y las restas.



ejercicio

Ejemplo:


Efectúa las siguientes operaciones combinadas:

\cfrac{2}{5}+\cfrac{1}{3} \cdot \left (\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{5}  \right )^2

La fracción como operador

Para calcular una fracción \cfrac {a}{b} de una cantidad C\;\!, procederemos multiplicando la fracción por la cantidad: \cfrac {a}{b} \cdot C

ejercicio

Ejemplos: La fracción como operador


  1. Un cartero ha de repartir los 3/28 del total de 4004 cartas. ¿Cuántas cartas le correspoden?
  2. De una herencia de 104000 €, Alberto posee 3/8; Berta, 5/12, y Claudia, el resto. Claudia emplea 2/5 de su parte en pagar deudas. ¿Cuánto le queda?

Ejercicios y problemas

Expresión decimal de una fracción

El siguiente videotutorial resume gran parte de lo que vamos a ver en este tema.

Para saber más sobre: Números decimales.

Paso de fracción a decimal

Aunque una fracción es un valor exacto y los números decimales a veces requieren tomar aproximaciones, muchas veces resulta más cómodo trabajar con decimales que con fracciones.

ejercicio

Procedimiento


Una fracción se puede expresar como un número decimal calculando su valor, es decir, dividiendo numerador entre denominador.

Tipos de expresiones decimales de una fracción

La expresión decimal de una fracción puede ser:

  • Expresión decimal exacta: Si tiene un número finito de decimales.
  • Expresión decimal periódica pura: Si tiene un número infinito de decimales que se repiten. La parte que se repite se llama periodo.
  • Expresión decimal periódica mixta: Si tiene un número infinito de decimales que se repiten a partir de una cierta posición decimal. La parte que se repite se llama periodo y la parte decimal previa al periodo se llama anteperiodo.



Paso de decimal a fracción

Se llama fracción generatriz de un número decimal, a aquella que tiene como valor dicho número decimal.



ejercicio

Paso de decimal exacto a fracción


La fracción generatriz de un decimal exacto tiene en el numerador la expresión decimal sin la coma, y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales.

ejercicio

Paso de decimal periódico puro a fracción


La fracción generatriz de un número decimal periódico puro tiene como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma (sin repetir el periodo) y b es la parte entera del número; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo.

ejercicio

Paso de decimal periódico mixto a fracción


La fracción generatriz de un número decimal periódico mixto tiene como numerador la diferencia entre a y b, donde a es el número escrito sin la coma (sin repetir el periodo) y b es el número escrito sin la coma quitándole la parte decimal periódica. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperiodo.

ejercicio

Ejemplos: Paso de decimal a fracción


Expresa en forma de fracción los números decimales:

a) 2.5 \;
b) 15,\widehat{34}
c) 12,3 \widehat{67}

Calculadora

Calculadora: Fracciones. Paso a decimal y viceversa


Para introducir fracciones usaremos la tecla Fracción. Esta tecla se usará también para pasar a decimal.

Actividades

Ejercicios y problemas

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios:


1. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:

\cfrac {15}{20} \quad \cfrac{3}{5}\quad \cfrac{8}{16}\quad\cfrac{3}{4}\quad \cfrac{15}{25}\quad \cfrac{1}{2}\quad \cfrac{21}{28}

2. Simplifica las fracciones:

a) \cfrac{70}{14} b) \cfrac{300}{420} c) \cfrac{105}{60}

3. Ordena de menor a mayor las fracciones:

\cfrac {5}{12} \quad \cfrac{3}{6}\quad \cfrac{5}{8}\quad\cfrac{1}{3}

4. Opera las fracciones:

a) \cfrac{7}{6} \cdot \cfrac{-2}{14} b) \left ( \cfrac{3}{5}-\cfrac{2}{6} \right ):\cfrac{3}{15} c) \cfrac{\cfrac {1}{3}-\left ( \cfrac{3}{4}-\cfrac{2}{6}+1 \right )}{2+\cfrac {2}{3}}

5. Simplifica y expresa en forma de fracción:

a) \cfrac{-5^2}{5^5} b) \cfrac{0,001}{10^2} c) \cfrac{(a^3 \cdot b^{-2})^2}{a^4 \cdot b^{-3}}

6. Simplifica:

a) \left ( \cfrac{-1}{5} \right )^3 b) \left [ \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^{-2} \right ]^2 c) \left ( \cfrac{-1}{3} \right )^3 \cdot \left ( \cfrac{1}{-3} \right )^{-2}

7. Calcula utilizando las propiedades de las potencias:

a)\ \frac{6^3.8^4}{3^0.3^3.2^4.2^2} \quad b)\ \frac{25^3.3^{-2}}{15^4.3^{-3}.5^4} \quad c)\ \frac{10^3.16.5^2}{100.8.25}


8. Sin hacer la división, indica qué tipo de decimal resulta:

a) \cfrac{72}{15} b) \cfrac{72}{9} c)\cfrac{72}{35}

8. Expresa en forma de fracción:

a) 21'379\;\! b) 2'\widehat{23} c) 21'45 \widehat{3}

ejercicio

Actividades Interactivas:Potencias


Actividad 1: Producto de potencias.
Actividad 2: Cociente de potencias.
Actividad 3: Potencia de un producto.
Actividad 4: Potencia de un cociente.
Actividad 5: Potencia de una potencia.
Herramientas personales
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