Triángulos

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 17:28 17 jul 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(→Triángulo)
← Ir a diferencia anterior		 Revisión de 17:30 17 jul 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)

Ir a siguiente diferencia →
Línea 7: Línea 7:
{{p}} {{p}}
==Triángulo== ==Triángulo==
-{{Tabla75|celda1=+{{triángulo: def y prop}}
-{{Caja_Amarilla|texto=Un '''triángulo''' es un polígono de tres lados. Por tanto, tiene tres vértices y tres [[ángulos]]. +
-}}{{p}}+
-'''Nomenclatura:'''+
-* En un triángulo, la letra que se usa para el vértice es mayúscula: <math>A \,\ B,\ C</math>.+
-* Las mismas letras mayusculas, con un "sombrero", para nombrar el [[Ángulos|ángulo]]:<math>\hat A, \ \hat B, \ \hat C</math>, aunque también son usuales las letras griegas: <math>\alpha,\ \beta,\ \gamma</math>.+
-* El nombre de cada lado se expresa con una letra minúscula: <math>a,\ b,\ c</math>; es la letra correspondiente al vértice opuesto al lado. También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas: <math>BC,\ AC,\ AB</math>, las de los vértices contenidos en ese lado.+
-|celda2=[[Imagen:trinagulo.png|230px]]}}+
-{{p}}+
-{{Teorema+
-|titulo=Propiedades+
-|enunciado=+
-Todo triángulo cumple las siguientes propiedades:+
- +
-#Sus tres [[ángulos]] suman 180º.+
-#La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.+
-#Es rígido, de hecho, es el único polígono indeformable.+
-#Si {{Sube|porcentaje=5%|contenido=<math>a=b\;,</math>}} entonces {{Sube|porcentaje=20%|contenido=<math>\hat A=\hat B</math>}}. Y si {{Sube|porcentaje=5%|contenido=<math>a<b\;</math>}}, entonces {{Sube|porcentaje=20%|contenido=<math>\hat A< \hat B</math>}}.+
-|demo=+
-'''1. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.'''+
- +
-Para comprobar esta propiedad vamos a hacer uso de la siguiente escena. En ella, A es un punto fijo, B puede moverse horizontalmente y C libremente: esto permite dibujar cualquier triángulo. La recta que pasa por C es paralela al lado AB con lo cual los ángulos verdes son iguales y los amarillos también (alternos internos). Si sumamos los tres ángulos en el vértice C, obtenemos siempre un ángulo llano.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Triangulos/triaa_1.html+
-width=500+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-'''2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.'''+
- +
-En la siguiente escena puedes comprobar esta propiedad. Mueve los vértices para cambiar la forma del triángulo.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/trian1_3.html+
-width=500+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-'''3. Es rígido, de hecho, el triángulo es el único polígono indeformable.'''+
- +
-Observa la escena, arrastra los vértices y comprueba que:+
- +
-a) Con tres varillas iguales podemos formar un triángulo, que no se deforma.+
- +
-b) Con cuatro varillas iguales, el cuadrilátero que se forma, puede deformarse, no es rígido. +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/trian1_4.html+
-width=450+
-height=360+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-Esta propiedad tiene muchas aplicaciones en la construcción. Observa torres de la luz, estructuras metálicas de puentes,... la forma externa puede ser variada, pero llevan diagonales internas que dividen su estructura en triángulos.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=Triángulos|enunciado=+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=El triángulo y sus elementos+
-|duracion=6´10"+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Kj60E7_MagI&index=2&list=PLHwz3md30-3kyfZgB4y53rPmPydQwj6uj+
-|sinopsis=Triángulo: Definición, elementos y propiedades+
-}}+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=Notación+
-|duracion=11´21"+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=K1BNW9Dickw+
-|sinopsis=Convenio y notación para nombrar los lados y los ángulos de un triángulo.+
-}}+
-{{Video_enlace_abel+
-|titulo1=Ejercicios+
-|duracion=7´39"+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=gTAi03JPROM+
-|sinopsis=Ejercicios de aplicación de la propiedad nº 1 de los triángulos:+
- +
-"La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º"+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}

Revisión de 17:30 17 jul 2017

Tabla de contenidos

[esconder]

Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados.

Nomenclatura:

  • En un triángulo, los vértices se designan con letras mayúsculas (por ejemplo: A \,\ B,\ C) y se disponen siguiendo el sentido contrario de las agujas del reloj.
  • Las mismas letras mayusculas, con un "sombrero", se usan para nombrar los ángulos (\hat A, \ \hat B, \ \hat C), aunque también son usuales las letras griegas (\alpha,\ \beta,\ \gamma). También se puede nombrar un ángulo usando tres vértices consecutivos. (Por ejemplo: \hat{ABC} sería igual que el ángulo \hat B\;).
  • Cada lado se designa con la misma letra con que se designa al lado opuesto, pero en minúscula (a,\ b,\ c). También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas (BC,\ AC,\ AB), las de los vértices contenidos en ese lado.

ejercicio

Propiedades

Todo triángulo cumple las siguientes propiedades:

  1. Sus tres ángulos suman 180º.
  2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
  3. Es rígido, de hecho, es el único polígono indeformable.
  4. Si a=b\;, entonces \hat A=\hat B. Y si a<b\;, entonces \hat A< \hat B.

Clasificación de los triángulos

Según sus lados:
  • Equilátero: Si tiene los tres lados iguales
  • Isósceles: Si tiene dos lados iguales.
  • Escaleno: Si tiene tres lados desiguales.

Según sus ángulos:

  • Rectángulo: Si tiene un ángulo recto
  • Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso
  • Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos

Igualdad de triángulos

Dos triángulo son iguales (congruentes) si tienen sus lados y sus ángulos iguales.

Para que dos triángulos sean iguales basta con que se verifique una de las siguientes condiciones:

ejercicio

Criterios de congruencia de triángulos

  • Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales (LLL).
  • Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo comprendido entre ellos (LAL).
  • Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y son iguales sus ángulos contiguos (ALA).

Construcción de triángulos

Basándonos en lo anterior podemos dar el siguiente resultado:

ejercicio

Procedimiento

Para construir un triángulo se debe dar una de las siguientes tres situaciones:

a) Conocer tres lados (LLL).
b) Conocer dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).
c) Conocer un lado y sus dos ángulos contiguos (ALA).

Rectas y puntos notables en un triángulo

  • Medianas y baricentro
Las medianas de un triángulo son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro y es el centro de gravedad del triángulo: desde este punto podríamos atarlo con un hilo y quedaría suspendido horizontalmente.

  • Alturas y ortocentro
Las alturas de un triángulo son las perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro (O).

  • Mediatrices y circuncentro
Las mediatrices de un triángulo son las perpendiculares a los puntos medios de cada lado.
Las tres mediatrices siempre se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices del triángulo).

  • Bisectrices e incentro
Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales.
Las tres bisectrices de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.
La circunferencia inscrita es una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.

  • Recta de Euler
La recta de Euler de un triángulo es aquella recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo

Triángulos rectángulos

  • Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto.
  • El mayor de los lados, opuesto al ángulo recto, se le llama hipotenusa.
  • A los otros dos lados, que forman el ángulo recto, se les llama catetos.

Teorema de Pitágoras

ejercicio

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:


a^2+b^2=c^2\;\!


donde a\;\! y b\;\! son los catetos y c\;\! la hipotenusa.


Este teorema se debe a Pitágoras de Samos (aprox. 582 a.C.- 507 a.C.)

Demostración geométrica animada

Aplicaciones

Ver: Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios de autoevaluación

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Tri%C3%A1ngulos"
Herramientas personales
phpMyVisites * AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda