Números enteros: Operaciones

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 10:15 18 nov 2009
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Opuesto de un entero)
← Ir a diferencia anterior
Revisión actual
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Introducción)
Línea 6: Línea 6:
[[Operaciones con números naturales (1º ESO)| Naturales]]<br>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enteros1/index.htm Enteros I]<br>[http://maralboran.org/web_ma/descartes//1y2_eso/enteros2/index.htm Enteros II]<br>[http://maralboran.org/web_ma/descartes//3_eso/Potencias/ Potencias] [[Operaciones con números naturales (1º ESO)| Naturales]]<br>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enteros1/index.htm Enteros I]<br>[http://maralboran.org/web_ma/descartes//1y2_eso/enteros2/index.htm Enteros II]<br>[http://maralboran.org/web_ma/descartes//3_eso/Potencias/ Potencias]
|enlaces=}}{{p}} |enlaces=}}{{p}}
-==Operaciones con enteros==+__TOC__
-Las operaraciones con enteros son similares a las [[Números naturales: Operaciones | operaciones con naturales]], pero con las peculiaridades que aportan los números negativos. +==Introducción==
-===Opuesto de un entero===+{{Introducción operaciones con enteros}}
-{{Opuesto de un entero}}+
-===Valor absoluto de un entero===+
-{{Valor Absoluto Entero}}+
- +
-===Suma y resta de enteros===+
-La '''suma''' de números enteros es otro número entero. La '''resta''' de números enteros es otro número entero resultado de sumar el primero con el opuesto del segundo.+
- +
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Suma de números enteros''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Practica la suma de números enteros.+
-|actividad=+
-Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".+
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-* '''Suma de dos enteros:'''+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/enteros1_1.html+
-width=450+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/enteros1_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-* '''Suma de tres enteros (Agrupando los que tienen el mismo signo):'''+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/enteros1_2.html+
-width=500+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/enteros1_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-* '''Suma de tres números enteros (Agrupandolos de dos en dos):'''+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/enteros1_3.html+
-width=470+
-height=290+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/enteros1_3.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +Las operaraciones con enteros son similares a las [[Números naturales: Operaciones | operaciones con naturales]], pero con las peculiaridades que aportan los números negativos. Veamos un video a modo de introducción.
-===Jerarquía de las operaciones con enteros===+{{Video_enlace_julioprofe
-Al operar con números enteros se atiende a la misma [[Números naturales: Jerarquía de las operaciones | jerarquia de las operaciones con naturales]].{{p}}+|titulo1=Operaciones con enteros
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Uso del paréntesis''|cuerpo=+|duracion=5'53"
-{{ai_cuerpo+|sinopsis=Breve resumen de las operaciones con enteros.
-|enunciado=1. Operaciones con paréntesis:+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Sj9rThGLz9Q
-|actividad=+
-Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".+
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-* '''Operaciones sencillas con paréntesis:'''+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/parentesis_1.html+
-width=550+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/parentesis_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-* '''Más operaciones con paréntesis:'''+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/operarparentesis_1.html+
-width=650+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/operarparentesis_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Operaciones combinadas:+
-|actividad=+
-En esta actividad debes marcar en la ventana bajo la escena el número que sigue al resolver la expresión. Cuando el número marcado sea el correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto no aparecerá.+
- +
-Debes hacerlo sucesivamente, paso a paso, para ello debes borrar el número anterior. No se trata de que halles directamente el resultado final.+
- +
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-{{Caja|contenido=<iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enteros2/opcombin_1.html+
-width=450+
-height=350+
-name=myframe+
-</iframe>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enteros2/opcombin_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>}}+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
-===Multiplicación de enteros===+==Suma y resta de enteros==
-====Regla de los signos====+===Suma y resta de dos números enteros===
-Si dos números enteros tienen el mismo signo su producto es un entero positivo. Y si tienen distinto signo, el producto es un entero negativo. Ésto es:+{{Suma y resta de dos números enteros}}
-{{caja|contenido=+
-<center><math>(+) \cdot (+) = (+)</math></center>+
-<center><math>(-) \cdot (-) = (+)</math></center>+
-<center><math>(+) \cdot (-) = (-)</math></center>+
-<center><math>(-) \cdot (+) = (-)</math></center>+
-}}{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Regla de los signos''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Practica el producto de números enteros.+
-|actividad=+
-Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".+
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/Multiplicar_1.html+
-width=500+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/Multiplicar_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
- +===Suma y resta de más de dos números enteros===
-===División de enteros===+{{Suma y resta de más de dos números enteros}}
-La división de números enteros, al igual que la [http://maralboran.org/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales:_Operaciones#Divisi.C3.B3n_con_naturales división de números naturales], no siempre es otro entero.+
-Con la división , al igual que con la multiplicación, se aplica la misma regla de los signos.+
- +
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''División de números enteros''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Practica el cociente de números enteros.+
-|actividad=+
-Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".+
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-Aplicaremos la regla de lo signos al igual que con el producto:+
- +
-{{caja|contenido=+
-<center><math>(+) : (+) = (+)\;\!</math></center>+
-<center><math>(-) : (-) = (+)\;\!</math></center>+
-<center><math>(+) : (-) = (-)\;\!</math></center>+
-<center><math>(-) : (+) = (-)\;\!</math></center>+
-}}{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/dividir_1.html+
-width=500+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/dividir_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +===Propiedades de la suma y de la resta de números enteros===
 +{{Propiedades de la suma y de la resta de números enteros}}
 +{{p}}
 +{{Multiplicación y cociente de números enteros}}
 +{{p}}
 +==Operaciones combinadas con números enteros==
 +{{Jerarquía de las operaciones con números enteros}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplos operaciones con enteros}}
{{p}} {{p}}
- 
==Calculadora== ==Calculadora==
===Suma, resta, multiplicación y división=== ===Suma, resta, multiplicación y división===
-{{Calculadora+{{Casio FX-100MS: Suma, resta, multiplicación y división}}
-|titulo=Calculadora: ''Suma, resta, multiplicación y división''+
-|cuerpo=Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas [[Imagen:suma.jpg|35px|Suma]], [[Imagen:resta.jpg|35px|Resta]], [[Imagen:multiplicacion.jpg|35px|Multiplicación]] y [[Imagen:division.jpg|35px|División]].+
-|operacion=+
-<math>\cfrac {4}{2}- 3+7 \cdot 8</math>+
-|procedimiento=+
-<math>4\;\!</math> [[Imagen:division.jpg|35px|División]] <math>2\;\!</math> [[Imagen:resta.jpg|35px|Resta]] <math>3\;\!</math> [[Imagen:suma.jpg|35px|Suma]] <math>7\;\!</math> [[Imagen:multiplicacion.jpg|35px|Multiplicación]] <math>8\;\!</math> [[Imagen:igual.jpg|35px|Obtener resultado]]+
-|solucion=+
-<math>55\;\!</math>+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Opuesto=== ===Opuesto===
-{{Calculadora+{{Casio FX-100MS: Opuesto}}
-|titulo=Calculadora: ''Opuesto''+{{p}}
-|cuerpo=Para poner el opuesto de un número usaremos la tecla [[Imagen:opuesto.jpg|35px|Cambio de signo]].+
-|operacion=+
-<math> -2+3\;\!</math>+
-|procedimiento=+
-[[Imagen:opuesto.jpg|35px|Cambio de signo]]<math>2\;\!</math> [[Imagen:suma.jpg|35px|Suma]]<math>3\;\!</math> [[Imagen:igual.jpg|35px|Obtener resultado]]+
-|solucion=+
-<math>1\;\!</math>+
-}}+
- +
===Paréntesis=== ===Paréntesis===
-{{Calculadora+{{Casio FX-100MS: Paréntesis}}
-|titulo=Calculadora: ''Paréntesis''+{{p}}
-|cuerpo=Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas [[Imagen:parentesis_izq.jpg|35px|Abre paréntesis]] y[[Imagen:parentesis_der.jpg|35px|Cierra paréntesis]].+
-|operacion=+
-<math> (2+3) \cdot 4</math>+
-|procedimiento=[[Imagen:parentesis_izq.jpg|35px|Abre paréntesis]]<math>2\;\!</math> [[Imagen:suma.jpg|35px|Suma]] <math>3\;\!</math>[[Imagen:parentesis_der.jpg|35px|Cierra paréntesis]] [[Imagen:multiplicacion.jpg|35px|Multiplicación]] <math>4\;\!</math> [[Imagen:igual.jpg|35px|Obtener resultado]]+
-|solucion=+
-<math>20\;\!</math>+
-}}{{p}}+
===Potencias=== ===Potencias===
-{{Calculadora+{{Casio FX-100MS: Potencias}}
-|titulo=Calculadora: ''Potencias''+
-|cuerpo=Para calcular potencias usaremos la tecla [[Imagen:potencia.jpg|35px|Elevado a]].+
-|operacion=+
-<math>\cfrac {4^3}{2^4}</math>+
-|procedimiento=+
-<math>4\;\!</math> [[Imagen:potencia.jpg|35px|Elevado a]] <math>3\;\!</math> [[Imagen:division.jpg|35px|División]] <math>2\;\!</math> [[Imagen:potencia.jpg|35px|Elevado a]] <math>4\;\!</math> [[Imagen:igual.jpg|35px|Obtener resultado]]+
-|solucion=+
-<math>4\;\!</math>+
-}}+
{{p}} {{p}}
- 
-===Wiris=== 
-{{Wiris 
-|titulo=WIRIS: ''Operaciones con números naturales'' 
-|enunciado= 
-Revisa los siguientes ejemplos: 
-{{p}} 
-{{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido= 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.org/wikipedia/wiris/operaciones_aritmeticas.html 
-width=100% 
-height=400 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/wikipedia/wiris/operaciones_aritmeticas.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-{{p}} 
-}} 
-Y utiliza el editor para calcular: 
-<center><math>\cfrac{14 \cdot(5-3)^2}{9-2}</math></center> 
-Comprueba el resultado también con tu calculadora. ''(Solución: 8)'' 
-}} 
- 
==Ejercicios y problemas== ==Ejercicios y problemas==
-===Ejercicios===+{{wolfram operaciones enteros}}
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicios: ''Operaciones con enteros''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-'''1. '''Calcula:+
-:a) <math>16-(9-5)-5+2= \,\!</math>+
-:b) <math>(-15-13)-9-(2-12+6)= \,\!</math>+
-:c) <math>(-3) \cdot [5 \cdot (8-6) -3 \cdot (3-7)]=</math>+
{{p}} {{p}}
-|sol=+{{Problemas con enteros}}
-a) 9{{b}}b) -33{{b}}c) -66+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-===Problemas===+
-{{ejercicio+
-|titulo=Problemas: ''Operaciones con enteros''+
-|cuerpo=+
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-'''1. ''' Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos? 
-|sol= 
-1' 12" 
-}} 
- 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-'''2.''' Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. ¿Cuántos años han pasado hasta el año 2007 d.C.? 
-|sol= 
-2.588 años, ya que no existió el año 0. 
-}} 
- 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-'''3. '''Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m? 
-|sol= 
-2.300 m. 
-}} 
-}} 
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números|Enteros]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números|Enteros]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Las operaraciones con enteros son similares a las operaciones con naturales, pero con las peculiaridades que aportan los números negativos. Veamos un video a modo de introducción.

Suma y resta de enteros

Suma y resta de dos números enteros

Sabemos que los números enteros pueden tener signo positivo (un más o nada delante del número) o signo negativo (un menos delante del número). Sin embargo, cuando dos enteros aparecen juntos, sus signos expresan una operación.

  • Suma: Siempre que vemos dos enteros juntos, sin más separación entre ellos que sus signos, lo que tenemos delante es una suma. Para realizar esa suma puedes guiarte por la lógica: los números negativos representan pérdidas, los positivos ganancias y el resultado de la operación es el balance entre ganancias y pérdidas.
  • Resta: La resta de números enteros es el resultado de sumar el primero con el opuesto del segundo.

Siguiendo esa lógica de balance entre pérdidas y ganancias, para sumar números enteros seguiremos las siguientes reglas:

ejercicio

Procedimiento: Suma de números enteros


Dependiendo del signo de los dos números a sumar, tenemos que:

  • Si tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo que tenían los números.
  • Si tienen distinto signo, se restan los valores absolutos (el mayor valor absoluto menos el menor) y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Suma y resta de más de dos números enteros

Cuando sumemos más de dos números enteros podemos proceder de dos formas:

  • Método 1: Sumar los positivos por un lado y los negativos por otro y, después, efectuar la resta de los resultados.
  • Método 2: Ir sumando o restando paso a paso, de izquierda a derecha.

Propiedades de la suma y de la resta de números enteros

ejercicio

Propiedades de la suma


  • Operación interna: el resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
a, \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a + b \in \mathbb{Z}
  • Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

a+b = b+a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

0 + a = a \,
  • Elemento opuesto: Todo número entero, a\;, tiene un opuesto, -a\;, que al sumarse con él da el elemento neutro.

a + (-a) = 0\;

ejercicio

Propiedades de la resta


  • Operación interna: el resultado de restar dos números enteros es otro número entero.
a, \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a - b \in \mathbb{Z}
  • Propiedad conmutativa: No se cumple
  • Propiedad asociativa: No se cumple

Multiplicación o producto de números enteros

ejercicio

Regla de los signos para el producto


  • Si dos números enteros tienen el mismo signo su producto es un entero positivo.
  • Si dos números enteros tienen distinto signo, el producto es un entero negativo.
(+) \cdot (+) = (+)
(-) \cdot (-) = (+)
(+) \cdot (-) = (-)
(-) \cdot (+) = (-)



Propiedades del producto de números enteros

ejercicio

Propiedades de la multiplicación


  • Operación interna: El producto de dos números enteros es otro número entero:
a , \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{Z}
  • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a \cdot b = b \cdot a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c

  • Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

1 \cdot a = a \,



La propiedad distributiva tiene una especie de propiedad "recíproca" que llamaremos sacar factor comun. En realidad es la misma propiedad, pero usada "al revés". La idea es buscar un divisor común a todos los sumandos que tengamos y "sacarlo" fuera del paréntesis en el que meteremos al resultado de dividir a cada uno de los sumandos por ese factor.



División o cociente de números enteros

ejercicio

Regla de los signos para el cociente


Con la división , al igual que con la multiplicación, se aplica la misma regla de los signos:

(+) : (+) = (+)\,
(-) : (-) = (+)\,
(+) : (-) = (-)\,
(-) : (+) = (-)\,

Propiedades de la división de números enteros

ejercicio

Propiedades de la división de números enteros


  • La división de de números enteros no siempre es un número entero.
  • La división de números enteros no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.

Al no tener la división de números enteros la propiedad asociativa, si aparecen varias divisiones consecutivas, sin paréntesis, tienen que hacerse de izquierda a derecha.

Actividades y videotutoriales

Operaciones combinadas con números enteros

A la hora de operar con números enteros utilizaremos la misma jerarquía de operaciones que con números naturales:

Ver: Jerarquía de las operaciones con números naturales

ejercicio

Jerarquía de las operaciones


A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias y las raíces.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
  3. Las sumas y las restas.



ejercicio

Ejercicio resuelto: Operaciones combinadas con enteros


        a) [8-(-6)]:(+7)+(-9)\;

        b) 18-(-2) \cdot[(+15):(8-11)]\;

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división


Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

Opuesto

Calculadora

Calculadora: Opuesto


Para poner el opuesto de un número usaremos la tecla Cambio de signo.

Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis


Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

Potencias

Calculadora

Calculadora: Potencias


Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Ejercicios y problemas

ejercicio

Problemas: Operaciones con enteros


1. Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos?
2. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. y murió el año 496 a.C. ¿A qué edad murio? ¿Cuántos años han pasado hasta el año 2007 d.C. desde su muerte?
3. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m?
Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda