Números enteros: Operaciones

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-Las operaraciones con enteros son similares a las [[Números naturales: Operaciones | operaciones con naturales]], pero con las peculiaridades que aportan los números negativos. +__TOC__
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-'''3. '''Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m? 
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-2.300 m. 
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Tabla de contenidos

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Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Las operaraciones con enteros son similares a las operaciones con naturales, pero con las peculiaridades que aportan los números negativos. Veamos un video a modo de introducción.

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Suma y resta de enteros

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Suma y resta de dos números enteros

Sabemos que los números enteros pueden tener signo positivo (un más o nada delante del número) o signo negativo (un menos delante del número). Sin embargo, cuando dos enteros aparecen juntos, sus signos expresan una operación.

  • Suma: Siempre que vemos dos enteros juntos, sin más separación entre ellos que sus signos, lo que tenemos delante es una suma. Para realizar esa suma puedes guiarte por la lógica: los números negativos representan pérdidas, los positivos ganancias y el resultado de la operación es el balance entre ganancias y pérdidas.
  • Resta: La resta de números enteros es el resultado de sumar el primero con el opuesto del segundo.

Siguiendo esa lógica de balance entre pérdidas y ganancias, para sumar números enteros seguiremos las siguientes reglas:

ejercicio

Procedimiento: Suma de números enteros

Dependiendo del signo de los dos números a sumar, tenemos que:

  • Si tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo que tenían los números.
  • Si tienen distinto signo, se restan los valores absolutos (el mayor valor absoluto menos el menor) y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

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Suma y resta de más de dos números enteros

Cuando sumemos más de dos números enteros podemos proceder de dos formas:

  • Método 1: Sumar los positivos por un lado y los negativos por otro y, después, efectuar la resta de los resultados.
  • Método 2: Ir sumando o restando paso a paso, de izquierda a derecha.

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Propiedades de la suma y de la resta de números enteros

ejercicio

Propiedades de la suma

  • Operación interna: el resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
a, \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a + b \in \mathbb{Z}
  • Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

a+b = b+a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

0 + a = a \,
  • Elemento opuesto: Todo número entero, a\;, tiene un opuesto, -a\;, que al sumarse con él da el elemento neutro.

a + (-a) = 0\;

ejercicio

Propiedades de la resta

  • Operación interna: el resultado de restar dos números enteros es otro número entero.
a, \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a - b \in \mathbb{Z}
  • Propiedad conmutativa: No se cumple
  • Propiedad asociativa: No se cumple

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Multiplicación o producto de números enteros

ejercicio

Regla de los signos para el producto

  • Si dos números enteros tienen el mismo signo su producto es un entero positivo.
  • Si dos números enteros tienen distinto signo, el producto es un entero negativo.
(+) \cdot (+) = (+)
(-) \cdot (-) = (+)
(+) \cdot (-) = (-)
(-) \cdot (+) = (-)

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Propiedades del producto de números enteros

ejercicio

Propiedades de la multiplicación

  • Operación interna: El producto de dos números enteros es otro número entero:
a , \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{Z}
  • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a \cdot b = b \cdot a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c

  • Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

1 \cdot a = a \,

La propiedad distributiva tiene una especie de propiedad "recíproca" que llamaremos sacar factor comun. En realidad es la misma propiedad, pero usada "al revés". La idea es buscar un divisor común a todos los sumandos que tengamos y "sacarlo" fuera del paréntesis en el que meteremos al resultado de dividir a cada uno de los sumandos por ese factor.

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División o cociente de números enteros

ejercicio

Regla de los signos para el cociente

Con la división , al igual que con la multiplicación, se aplica la misma regla de los signos:

(+) : (+) = (+)\,
(-) : (-) = (+)\,
(+) : (-) = (-)\,
(-) : (+) = (-)\,

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Propiedades de la división de números enteros

ejercicio

Propiedades de la división de números enteros

  • La división de de números enteros no siempre es un número entero.
  • La división de números enteros no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.

Al no tener la división de números enteros la propiedad asociativa, si aparecen varias divisiones consecutivas, sin paréntesis, tienen que hacerse de izquierda a derecha.

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Actividades y videotutoriales

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Operaciones combinadas con números enteros

A la hora de operar con números enteros utilizaremos la misma jerarquía de operaciones que con números naturales:

Ver: Jerarquía de las operaciones con números naturales

ejercicio

Jerarquía de las operaciones

A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias y las raíces.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
  3. Las sumas y las restas.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Operaciones combinadas con enteros

        a) [8-(-6)]:(+7)+(-9)\;

        b) 18-(-2) \cdot[(+15):(8-11)]\;

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Calculadora

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Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

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Opuesto

Calculadora

Calculadora: Opuesto

Para poner el opuesto de un número usaremos la tecla Cambio de signo.

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Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

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Potencias

Calculadora

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

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Ejercicios y problemas

ejercicio

Problemas: Operaciones con enteros

1. Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos?
2. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. y murió el año 496 a.C. ¿A qué edad murio? ¿Cuántos años han pasado hasta el año 2007 d.C. desde su muerte?
3. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m?
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