Números racionales: Operaciones

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==Multiplicación y división de fracciones== ==Multiplicación y división de fracciones==
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===Multiplicación de fracciones=== ===Multiplicación de fracciones===
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===Inversa de una fracción=== ===Inversa de una fracción===
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-texto=Dada una fracción <math>\cfrac {a}{b}\ ,\quad a,b \ne 0 </math>, su '''inversa''' es la fracción <math>\cfrac {b}{a}</math>.+
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-Por ejemplo, la inversa de <math>\cfrac {3}{5}</math> es <math>\cfrac {5}{3}</math>. +
-{{p}}+
-{{AI_descartes+
-|titulo1=Fracción inversa+
-|descripcion=La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la fracción unidad.+
-La fracción que tiene el numerador y denominador intercambiados respecto de ella, es su fracción inversa. +
-Lógicamente, si una fracción es inversa de otra, también son sus inversas todas las equivalentes a esa.+
-La fracción de valor 0 es la única que no tiene inversa.+
- +
-Marca la fracción inversa, para ello debes marcar primero el numerador, pulsar intro, después el denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR.+
-Esta actividad no admite rectificaciones, por eso no puedes utilizar los triángulos para variar los números marcados.+
- +
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-Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.+
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-}}+
- +
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===División de fracciones=== ===División de fracciones===
-{{Division fracciones}}+{{division fracciones}}
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-No obstante, es conveniente simplificar antes de efectuar los productos.{{p}}+
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 +==Racionalización==
 +Ver: [[Racionalización]]
 +{{p}}
==Operaciones combinadas con fracciones== ==Operaciones combinadas con fracciones==
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==La fracción como operador== ==La fracción como operador==
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==Ejercicios== ==Ejercicios==
-{{Video: problemas fracciones}}+{{Ejercicios y problemas con fracciones}}
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Línea 208: Línea 182:
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Revisión actual

Tabla de contenidos

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Suma y resta de fracciones

ejercicio

Procedimiento: Suma de fracciones

Para sumar o restar fracciones:

  • Si las fracciones son homogéneas (mismo denominador), se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
  • Si son heterogéneas (distinto denominador), primero se reducen a común denominador y luego se procede como en el caso anterior.

ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de fracciones

Calcula: 2+\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}

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Opuesta de una fracción

  • Dos fracciones son opuestas cuando su suma es cero.
  • Dada una fracción \cfrac {a}{b}, su opuesta es la fracción -\cfrac {a}{b}.

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Multiplicación y división de fracciones

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Multiplicación de fracciones

ejercicio

Procedimiento: Multiplicación de fracciones

Para multiplicar fracciones, se pone como numerador, el producto de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.

\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot c}{b \cdot d}

ejercicio

Ejemplo: Multiplicación de fracciones

Calcula: \cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}

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Inversa de una fracción

  • Dos fracciones son inversas cuando su producro es la unidad.
  • Toda fracción \cfrac {a}{b}, distinta de cero, tiene inversa. Su inversa es la fracción \cfrac {b}{a}.

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División de fracciones

ejercicio

Procedimiento: División de fracciones

Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

El resultado es otra fracción, cuyo numerador, es el producto del primer numerador por el segundo denominador, y cuyo denominador es el producto del primer denominador por el segundo numerador.

\cfrac{a}{b} : \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot d}{b \cdot c}

ejercicio

Ejemplo:

Calcula: \cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}

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Potencia de una fracción

ejercicio

Procedimiento: Potencia de una fracción

Para elevar una fracción a una potencia se eleva el numerador y el denominador a dicha potencia.

\left( \cfrac{a}{b} \right) ^n = \begin{matrix} ~ \\ \underbrace{ \cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{a}{b} \cdot \cdots \cdot \cfrac{a}{b} } \\ n \, \mbox{veces} \end{matrix} = \cfrac{a^n}{b^n}

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Potencias de exponente negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}

Como consecuencia:

ejercicio

Propiedad

\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)
.


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Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números enteros.

Ver: Propiedades de las potencias de números enteros

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

ejercicio

Ejemplos: Potencias de fracciones

Calcula simplificando previamente:

a) \left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4        b) \left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3        c) \left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3        

d) \left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2        e) \left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2        f) \left( \cfrac{3}{5}\right)^0

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Raíces de fracciones

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Racionalización

Ver: Racionalización

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Operaciones combinadas con fracciones

A la hora de operar con fracciones seguiremos las mismas pautas que con números enteros:

Ver: Jerarquía de las operaciones con números enteros

ejercicio

Jerarquía de las operaciones

A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias y las raíces.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
  3. Las sumas y las restas.

ejercicio

Ejemplo:

Efectúa las siguientes operaciones combinadas:

\cfrac{2}{5}+\cfrac{1}{3} \cdot \left (\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{5} \right )^2

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La fracción como operador

Para calcular una fracción \cfrac {a}{b} de una cantidad C\;\!, procederemos multiplicando la fracción por la cantidad: \cfrac {a}{b} \cdot C

ejercicio

Ejemplo: La fracción como operador

De una herencia de 27 millones de euros, María recibe las tres quintas partes, su hermano Ramón, la mitad del resto, y su hermana Matilde, lo que queda.
a) ¿Qué fracción le corresponde a cada uno?
b) Calcula cuánto se lleva cada uno.

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Ejercicios

wolfram

Actividad: Operaciones combinadas con fracciones

Efectúa las siguientes operaciones:

a) \left ( \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} \right ) - \left ( \cfrac{3}{4} - \cfrac{1}{6} \right )                b) 1+\cfrac{7}{6} \cdot \cfrac{-2}{14}                c) \left ( \cfrac{3}{5}-\cfrac{2}{6} \right ):\cfrac{3}{15}

ejercicio

Problemas: La fracción como operador

1. El aire es una mezcla de gases. En la capa más próxima a la superficie de la Tierra, se encuentran en las siguientes proporciones: \cfrac{3}{4} de nitrógeno, \cfrac{1}{5} de oxígeno, \cfrac{3}{10000} de anhídrido carbónico y el resto son gases nobles. Halla cuántos litros de cada uno de estos gases se encuentran en 1 m3 de aire.

2. La sangre humana se compone de \cfrac{9}{20} de corpúsculos (glóbulos rojos,glóbulos blancos, plaquetas) y el resto de plasma. Sabiendo que la sangre de una persona constituye aproximadamente \cfrac{1}{14} de su masa, ¿cuánto pesan los corpúsculos sanguíneos de un individuo de 77 kg?

3. Una colonia de verano consta de dos pabellones. En el pabellón A hay 320 personas más que en el B. Sabiendo que en el B se encuentran los \cfrac{7}{22} del total, ¿cuántas personas hay en la colonia?

4. En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte claveles y el resto son tulipanes. La sexta parte de la parcela dedicada a rosas es para flores blancas. Si el campo tiene 720 m2 y en cada metro cuadrado hay 200 flores, ¿cuántas rosas blancas se recogerán?

5. En un congreso internacional, \cfrac{3}{8} de los asistentes son europeos, y la tercera parte, americanos. Hay 49 asistentes que no son europeos ni americanos. ¿Cuántos congresistas hay?

6. Disponemos de tres grifos para llenar un depósito. El primero lo llena en 3 horas, el segundo en 4 horas, y el tercero, en 6. Si se abren los tres a la vez, ¿cuánto tardarán en llenar el depósito?

7. La diferencia entre los \cfrac{4}{5} y los \cfrac{2}{3} de un número es igual a 8. ¿Cuál es ese número?

8. Si se unen dos cables eléctricos, se obtiene un cable de 440 m. Si sabemos que uno mide los \cfrac{4}{7} del otro, ¿cuál es la longitud de cada cable?

9. Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan la cuarta parte, los puerros los dos quintos, y las zanahorias, el resto. La parte dedicada a los puerros supera en 30 m2 a la de las zanahorias. ¿Cuál es la extensión del huerto?

10. Por la compra de un apartamento hemos dado como anticipo 24000 € y nos hemos comprometido a pagar 250 € al mes. Después de 24 meses hemos pagado los \cfrac{5}{8} del precio total. Calcula el precio del apartamento.

ejercicio

Problemas: Fracciones

1. Los \cfrac{4}{7} de una pieza de tela cuestan 52 €, y el resto mide 6 metros. Calcula la longitud total y el precio total de la pieza.

2. En cierto país trabajan \cfrac{2}{5} de la población. De los trabajadores, \cfrac{1}{4} se dedica a la construcción, \cfrac{3}{25} a la industria, \cfrac{2}{5} al sector servicios, y el resto a la agricultura.

a) ¿Qué parte de los trabajadores se dedica a la agricultura?
b) ¿Qué fracción del total de la población representa?

3. De una cantidad de dinero se gasta la tercera parte, después los \cfrac{2}{5} del resto, y por último \cfrac{1}{4} de lo que queda.

a) ¿Qué parte del total se ha gastado?
b) Si al final hay 3780 €, ¿cuánto había al principio?

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