Números racionales: Operaciones

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{{Menú Matemáticas 3ESO {{Menú Matemáticas 3ESO
-|ir= |ampliar=+|ir=
-[http://maralboran.ath.cx/web_ma/ejercicios/3eso/bloquenumeros/PROBLEMFRAC.pdf Problemas]+|ampliar=
|repasar= |repasar=
-[http://sultan.hostos.cuny.edu/InstructionalTech/MAT1604SPA/fractions.htm Fracciones I]<br>[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/fracciones/index.htm Fracciones II]<br>[http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Fracciones_decimales_porcentajes/index.htm Fracciones III]<br>[http://sultan.hostos.cuny.edu/InstructionalTech/MAT1604SPA/decimals.htm Números decimales]<br>+[http://sultan.hostos.cuny.edu/InstructionalTech/MAT1604SPA/fractions.htm Fracciones I]<br>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/index.htm Fracciones II]<br>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/3_eso/Fracciones_decimales_porcentajes/index.htm Fracciones III]<br>[[Fracciones(1º ESO)| Fracciones IV]]
 +[http://www.librosvivos.net/smtc/homeTC.asp?TemaClave=1117 Fracciones (SM)]
|enlaces=[http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n Fracciones]<br> |enlaces=[http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n Fracciones]<br>
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Operaciones con fracciones==+==Suma y resta de fracciones==
-===Suma y resta de fracciones===+{{Suma fracciones}}
-{{Caja Amarilla|+{{p}}
-texto=+{{ejemplo suma fracciones}}
-Para '''sumar''' o '''restar''' fracciones:+{{p}}
-*Si las fracciones tienen el '''mismo denominador''', se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador.+{{actividades suma y resta fracciones}}
-*Si tienen '''distintos denominadores''', primero se reducen a común denominador y luego se procede como en el caso anterior.+{{p}}
-}}{{p}}+{{wolfram suma y resta fracciones}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Suma y resta de fracciones''+{{p}}
 +===Opuesta de una fracción===
 +{{Opuesta de una fracción}}
 +{{p}}
 + 
 +==Multiplicación y división de fracciones==
 +{{Introducción a la multiplicación y división de fracciones}}
 +{{p}}
 +===Multiplicación de fracciones===
 +{{Multiplicacion fracciones}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo multiplicación fracciones}}
 +{{p}}
 +{{actividades multiplicacion fracciones}}
 +{{p}}
 +{{wolfram multiplicacion fracciones}}
 +{{p}}
 + 
 +===Inversa de una fracción===
 +{{Inversa de una fracción}}
 +{{p}}
 + 
 +===División de fracciones===
 +{{division fracciones}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo division fracciones}}
 +{{p}}
 +{{actividades division fracciones}}
 +{{p}}
 +{{wolfram division fracciones}}
 +{{p}}
 +==Potencia de una fracción==
 +{{Def: potencia fracción}}
 +{{p}}
 +===Potencias de exponente negativo===
 +{{Def potencia exponente entero}}
 +{{p}}
 +{{AI potencias exponente entero}}
 +{{p}}
 +===Propiedades de las potencias de números racionales===
 +{{Propiedades de las potencias de números racionales}}
 +{{p}}
 +==Raíces de fracciones==
 +{{Videos: raíces de fracciones}}
 +{{p}}
 +==Racionalización==
 +Ver: [[Racionalización]]
 +{{p}}
 +==Operaciones combinadas con fracciones==
 +{{Operaciones combinadas con fracciones 3ºESO}}
 +{{p}}
 +==La fracción como operador==
 +{{fraccion como operador}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo
 +|titulo=Ejemplo: ''La fracción como operador''
|enunciado= |enunciado=
-:Calcula: <math>\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}</math>+:De una herencia de 27 millones de euros, María recibe las tres quintas partes, su hermano Ramón, la mitad del resto, y su hermana Matilde, lo que queda.
 +::a) ¿Qué fracción le corresponde a cada uno?
 +::b) Calcula cuánto se lleva cada uno.
|sol= |sol=
-Primero reducimos a común denominador. Para ello, calculamos el m.c.m. de los denominadores:+a) Calculamos la fracción que se cada uno:
-<math>m.c.m.(4, 6, 2)=12\;\!</math>.+*María recibe: <math>\cfrac{3}{5}</math>
 +*Ramón recibe: <math>\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{2}{5}=\cfrac{1}{5}</math>
 +*Matilde recibe: <math>1-(\cfrac{3}{5}+\cfrac{1}{5})=1-\cfrac{4}{5}=\cfrac{1}{5}</math>
-<center><math>\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}=\cfrac{9}{12} + \cfrac{8}{12} - \cfrac{6}{12}=</math></center>+b) Calculamos cuántos euros se lleva cada uno:
-Luego sumamos o restamos los númeradores, dejando el mismo denominador:+*María recibe: <math>\cfrac{3}{5} \cdot 27=\cfrac{3 \cdot 27}{5}=\cfrac{81}{5}</math> millones de €
-<center><math>=\cfrac{9+8-6}{12}=\cfrac{11}{12}</math></center>+*Ramón recibe: <math>\cfrac{1}{5} \cdot 27=\cfrac{27}{5}</math> millones de €
-}}{{p}}+*Matilde recibe: <math>\cfrac{1}{5} \cdot 27=\cfrac{27}{5}</math> millones de
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''''Suma y resta de fracciones''|cuerpo=+}}
-{{ai_cuerpo+{{p}}
-|enunciado='''Actividad 1:''' Aprende a sumar y restar fracciones.+{{Video: La fracción como operador}}
-|actividad=+
-Cuando tenemos juntas sumas y restas seguimos el mismo proceso que si tuviéramos solamente sumas.+
-Para sumar y restar fracciones es necesario que tengan todas el mismo denominador. Si las fracciones tienen distintos denominadores se pasan a común denominador, es decir, se cambian por otras equivalentes a ellas pero con el mismo denominador todas. Para ello se siguen estos pasos:+
-* Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores y se pone de denominador de cada una.+==Ejercicios==
-* Para hallar cada uno de los nuevos numeradores se divide ese número por el denominador de una fracción y se multiplica por el numerador.+{{Ejercicios y problemas con fracciones}}
-* Finalmente se suman y restan los numeradores y se pone el mismo denominador. +{{p}}
-* Si se puede se simplifica.+{{wolfram operaciones fracciones}}
 +{{p}}
 +{{ejercicio
 +|titulo=Problemas: ''La fracción como operador''
 +|cuerpo=
-En esta escena puedes ver el proceso paso a paso, pulsando sobre el triángulo azul.+{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
-<center><iframe>+'''1. ''' El aire es una mezcla de gases. En la capa más próxima a la superficie de la Tierra, se encuentran en las siguientes proporciones:
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/suma3_1.html+<math>\cfrac{3}{4}</math> de nitrógeno, <math>\cfrac{1}{5}</math> de oxígeno, <math>\cfrac{3}{10000}</math> de anhídrido carbónico y el resto son gases nobles.
-width=400+Halla cuántos litros de cada uno de estos gases se encuentran en 1 <math>m^3</math> de aire.
-height=380+{{p}}
-name=myframe+|sol= Nitrógeno = 750 l.; oxígeno = 200 l.; anhídrido carbónico = 0,3 l.; g. nobles = 49,7 l.
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/suma3_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 2:''' Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones.+
-|actividad=+
-Realiza en papel aparte estas operaciones y luego marca aquí su resultado.+
-Marca primero su numerador, pulsa intro, luego marca su denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR. +
-Esta actividad no permite rectificaciones, por eso no emplees los triángulos para variar el número marcado.+
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/suma5_1.html 
-width=450 
-height=300 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/suma5_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones. 
-}} 
}} }}
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 +
 +'''2. ''' La sangre humana se compone de <math>\cfrac{9}{20}</math> de corpúsculos (glóbulos rojos,glóbulos blancos, plaquetas) y el resto de plasma. Sabiendo que la sangre de una persona constituye aproximadamente <math>\cfrac{1}{14}</math> de su masa, ¿cuánto pesan los corpúsculos sanguíneos de un individuo de 77 kg?
{{p}} {{p}}
 +|sol=<math> 77\cdot \frac{1}{14}\cdot \frac{9}{20}= \frac{693}{280}= 2,475 \ kg </math>
-===Multiplicación de fracciones=== 
-{{Caja Amarilla| 
-texto= 
-Para '''multiplicar''' fracciones, se pone como numerador, el producro de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.{{p}}  
-<center><math>\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot c}{b \cdot d}</math></center> 
}} }}
-{{p}}+{{ejercicio_cuerpo
-No obstante, es conveniente simplificar los numeradores entre los denominadores antes de efectuar los productos.{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Producto de fracciones''+
|enunciado= |enunciado=
-:Calcula: <math>\cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}</math> 
-|sol= 
-Multiplicamos numeradores y denominadores, simplificando antes de efectuar el producto:{{p}} 
-<center><math>\cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}=\cfrac{10\cdot4\cdot8}{6\cdot6\cdot5}=\cfrac{16}{9}</math></center> 
-}}{{p}} 
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''''Producto de fracciones''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1:''' Aprende a multiplicar fracciones. 
-|actividad= 
-Para multiplicar fracciones no hace falta pasarlas a común denominador, se multiplican directamente. 
-Multiplicamos sus numeradores y lo ponemos de numerador, multiplicamos sus denominadores y lo ponemos de denominador. A continuación se simplifican. 
-No obstante, es conveniente simplificar antes de multiplicar.+'''3. ''' Una colonia de verano consta de dos pabellones. En el pabellón A hay 320 personas más que en el B. Sabiendo que en el B se encuentran los <math>\cfrac{7}{22}</math> del total, ¿cuántas personas hay en la colonia?
 +{{p}}
 +|sol=880 personas; ya que 1/22 del total son 40 personas
-En esta escena puedes ver el proceso paso a paso, pulsando sobre el triángulo azul. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/multipl2_1.html 
-width=400 
-height=290 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/multipl2_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones. 
}} }}
-{{ai_cuerpo+{{ejercicio_cuerpo
-|enunciado='''Actividad 2:''' Realiza las siguientes multiplicaciones de fracciones.+|enunciado=
-|actividad=+
-Realiza en papel aparte estas operaciones y luego marca aquí su resultado.+
-Marca primero su numerador, pulsa intro, luego marca su denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR. +
-Esta actividad no permite rectificaciones, por eso no emplees los triángulos para variar el número marcado.+
-<center><iframe>+'''4. ''' En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte claveles y el resto son tulipanes. La sexta parte de la parcela dedicada a rosas es para flores blancas. Si el campo tiene 720 <math>m^2</math> y en cada metro cuadrado hay 200 flores, ¿cuántas rosas blancas se recogerán?
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/multipl3_1.html+
-width=400+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/multipl3_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +|sol=<math>720 \cdot 200 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6}= 6000 </math>
-===Inversa de una fracción===+}}
-{{Caja Amarilla|+{{ejercicio_cuerpo
-texto=Dada una fracción <math>\cfrac {a}{b}\ ,\quad a,b \ne 0 </math>, su '''inversa''' es la fracción <math>\cfrac {b}{a}</math>.+|enunciado=
-}}{{p}}+ 
-Por ejemplo, la inversa de <math>\cfrac {3}{5}</math> es <math>\cfrac {5}{3}</math>. +'''5. ''' En un congreso internacional, <math>\cfrac{3}{8}</math> de los asistentes son europeos, y la tercera parte, americanos. Hay 49 asistentes que no son europeos ni americanos. ¿Cuántos congresistas hay?
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Inversa de una fracción''|cuerpo=+|sol=168 personas ya que 7/24 del total son 49 personas.
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Halla la fracción inversa de una fracción.+
-|actividad=+
-La inversa de una fracción es otra fracción que al ser multiplicada por ella da la fracción unidad.+
-La fracción que tiene el numerador y denominador intercambiados respecto de ella, es su fracción inversa. +
-Lógicamente, si una fracción es inversa de otra, también son sus inversas todas las equivalentes a esa.+
-La fracción de valor 0 es la única que no tiene inversa.+
-Marca la fracción inversa, para ello debes marcar primero el numerador, pulsar intro, después el denominador, al pulsar intro te indicará si es CORRECTO o ERROR.+}}
-Esta actividad no admite rectificaciones, por eso no puedes utilizar los triángulos para variar los números marcados.+{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 + 
 +'''6. ''' Disponemos de tres grifos para llenar un depósito. El primero lo llena en 3 horas, el segundo en 4 horas, y el tercero, en 6. Si se abren los tres a la vez, ¿cuánto tardarán en llenar el depósito?
 +{{p}}
 +|sol=Los tres a la vez llenan los 3/4 del depósito en una hora, luego tardan 1 h. 20 m.
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/divisio1_1.html 
-width=400 
-height=290 
-name=myframe 
-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/divisio1_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción. 
-}} 
}} }}
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 +
 +'''7. ''' La diferencia entre los <math>\cfrac{4}{5}</math> y los <math>\cfrac{2}{3}</math> de un número es igual a 8. ¿Cuál es ese número?
{{p}} {{p}}
 +|sol=60
 +}}
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
-===División de fracciones===+'''8. ''' Si se unen dos cables eléctricos, se obtiene un cable de 440 m. Si sabemos que uno mide los <math>\cfrac{4}{7}</math> del otro, ¿cuál es la longitud de cada cable?
-{{Caja Amarilla|+
-texto=+
-Para '''dividir''' dos fracciones, se pone como numerador, el producro del primer numerador por el segundo denominador, y como denominador, el producto del primer denominador por el segundo numerador.+
-<center><math>\cfrac{a}{b} : \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot d}{b \cdot c}</math></center>+
-}}{{p}}+
-No obstante, es conveniente simplificar antes de efectuar los productos.{{p}}+
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Cociente de fracciones''+|sol=160 m. y 280 m.
 +}}
 +{{ejercicio_cuerpo
|enunciado= |enunciado=
-:Calcula: <math>\cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}</math> 
-|sol= 
-Multiplicamos en cruz, simplificando antes de efectuar el producto:{{p}} 
-<center><math>\cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}=\cfrac{6 \cdot 15}{5 \cdot 4}= \cfrac{9}{2}</math></center> 
-}}{{p}} 
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Cociente de fracciones''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1:''' Aprende a dividir fracciones. 
-|actividad= 
-Dividir una fracción por otra es lo mismo que multiplicar la primera fracción por la inversa de la segunda fracción. Una fracción se puede dividir por cualquier otra, menos por la fracción 0. 
-Haz la división en tu cuaderno y luego comprueba el resultado, viendo el desarrollo paso a paso. Para ello pulsa la flecha azul. 
-<center><iframe>+'''9. ''' Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan la cuarta parte, los puerros los dos quintos, y las zanahorias, el resto. La parte dedicada a los puerros supera en 30 <math>m^2</math> a la de las zanahorias. ¿Cuál es la extensión del huerto?
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/divisio2_1.html+{{p}}
-width=400+|sol=600 <math>m^2</math> ya que 1/20 del huerto mide 30 <math>m^2</math>.
-height=290+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/divisio2_1.html+
-width=400 '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
-Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.+
}} }}
-}}+{{ejercicio_cuerpo
-==La fracción como operador==+
-{{Caja_Amarilla|texto=Para calcular una fracción <math>\cfrac {a}{b}</math> de una cantidad <math>C\;\!</math>, procedermos multiplicando la fracción por la cantidad <math>C\;\!</math>:+
-<center><math>P=\cfrac {a}{b} \cdot C</math></center>+
-}}{{p}}+
-{{Ejemplo+
-|titulo=Ejemplo: ''La fracción como operador''+
|enunciado= |enunciado=
-:De una herencia de 27 millones de euros, María recibe las tres quintas partes, su hermano Ramón, la mitad del resto, y su hermana Matilde, lo que queda. 
-::a) ¿Qué fracción le corresponde a cada uno? 
-::b) Calcula cuánto se lleva cada uno. 
-|sol= 
-a) Calculamos la fracción que se cada uno: 
-*María recibe: <math>\cfrac{3}{5}</math> 
-*Ramón recibe: <math>\cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{2}{5}=\cfrac{1}{5}</math> 
-*Matilde recibe: <math>1-(\cfrac{3}{5}+\cfrac{1}{5})=1-\cfrac{4}{5}=\cfrac{1}{5}</math> 
-b) Calculamos cuántos euros se lleva cada uno:+'''10. ''' Por la compra de un apartamento hemos dado como anticipo 24000 € y nos hemos comprometido a pagar 250 € al mes. Después de 24 meses hemos pagado los <math>\cfrac{5}{8}</math> del precio total. Calcula el precio del apartamento.
 +{{p}}
 +|sol=48000 €
 +}}
-*María recibe: <math>\cfrac{3}{5} \cdot 27=\cfrac{3 \cdot 27}{5}=\cfrac{81}{5}</math> millones de € 
-*Ramón recibe: <math>\cfrac{1}{5} \cdot 27=\cfrac{27}{5}</math> millones de € 
-*Matilde recibe: <math>\cfrac{1}{5} \cdot 27=\cfrac{27}{5}</math> millones de € 
}} }}
{{p}} {{p}}
- 
-==Ejercicios== 
{{ejercicio {{ejercicio
-|titulo=Ejercicios: ''Operaciones con fracciones''+|titulo=Problemas: ''Fracciones''
|cuerpo= |cuerpo=
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 +
 +'''1. ''' Los <math>\cfrac{4}{7}</math> de una pieza de tela cuestan 52 €, y el resto mide 6 metros. Calcula la longitud total y el precio total de la pieza.
 +{{p}}
 +|sol=
 +}}
{{ejercicio_cuerpo {{ejercicio_cuerpo
|enunciado= |enunciado=
-'''1. '''Opera las fracciones:+'''2. ''' En cierto país trabajan <math>\cfrac{2}{5}</math> de la población. De los trabajadores, <math>\cfrac{1}{4}</math> se dedica a la construcción, <math>\cfrac{3}{25}</math> a la industria, <math>\cfrac{2}{5}</math> al sector servicios, y el resto a la agricultura.
-:a) <math>\cfrac{7}{6} \cdot \cfrac{-2}{14} </math>{{b}}b) <math>\left ( \cfrac{3}{5}-\cfrac{2}{6} \right ):\cfrac{3}{15}</math>{{b}}c) <math>\cfrac{\cfrac {1}{3}-\left ( \cfrac{3}{4}-\cfrac{2}{6}+1 \right )}{2+\cfrac {2}{3}}</math>+:a) ¿Qué parte de los trabajadores se dedica a la agricultura?
 +:b) ¿Qué fracción del total de la población representa?
{{p}} {{p}}
-|sol=+|sol=
-a) <math>-\cfrac{1}{6}</math>{{b}}b) <math>\cfrac{4}{3}</math>{{b}}c) <math>-\cfrac{13}{32}</math>+}}
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 +'''3. ''' De una cantidad de dinero se gasta la tercera parte, después los <math>\cfrac{2}{5}</math> del resto, y por último <math>\cfrac{1}{4}</math> de lo que queda.
 +:a) ¿Qué parte del total se ha gastado?
 +:b) Si al final hay 3780 €, ¿cuánto había al principio?
 +{{p}}
 +|sol=
}} }}
}} }}
 +[[Categoría: Matemáticas|Racionales]][[Categoría: Números|Racionales]]

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Tabla de contenidos

Suma y resta de fracciones

ejercicio

Procedimiento: Suma de fracciones


Para sumar o restar fracciones:

  • Si las fracciones son homogéneas (mismo denominador), se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.
  • Si son heterogéneas (distinto denominador), primero se reducen a común denominador y luego se procede como en el caso anterior.





ejercicio

Ejemplo: Suma y resta de fracciones


Calcula: 2+\cfrac{3}{4} + \cfrac{4}{6} - \cfrac{1}{2}

Opuesta de una fracción

  • Dos fracciones son opuestas cuando su suma es cero.
  • Dada una fracción \cfrac {a}{b}, su opuesta es la fracción -\cfrac {a}{b}.

Multiplicación y división de fracciones

Multiplicación de fracciones

ejercicio

Procedimiento: Multiplicación de fracciones


Para multiplicar fracciones, se pone como numerador, el producto de los numeradores, y como denominador, el producto de los denominadores.

\cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot c}{b \cdot d}





ejercicio

Ejemplo: Multiplicación de fracciones


Calcula: \cfrac{10}{6} \cdot \cfrac{4}{6} \cdot \cfrac{8}{5}

Inversa de una fracción

  • Dos fracciones son inversas cuando su producro es la unidad.
  • Toda fracción \cfrac {a}{b}, distinta de cero, tiene inversa. Su inversa es la fracción \cfrac {b}{a}.

División de fracciones

ejercicio

Procedimiento: División de fracciones


Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

El resultado es otra fracción, cuyo numerador, es el producto del primer numerador por el segundo denominador, y cuyo denominador es el producto del primer denominador por el segundo numerador.

\cfrac{a}{b} : \cfrac{c}{d}=\cfrac{a \cdot d}{b \cdot c}





ejercicio

Ejemplo:


Calcula: \cfrac{6}{5} : \cfrac{4}{15}

Potencia de una fracción

ejercicio

Procedimiento: Potencia de una fracción


Para elevar una fracción a una potencia se eleva el numerador y el denominador a dicha potencia.

\left( \cfrac{a}{b} \right) ^n =  \begin{matrix} ~ \\ \underbrace{  \cfrac{a}{b} \cdot \cfrac{a}{b} \cdot \cdots \cdot \cfrac{a}{b} } \\ n \, \mbox{veces} \end{matrix}  = \cfrac{a^n}{b^n}

Potencias de exponente negativo

Se define la potencia de exponente negativo como:

a^{-n}=\cfrac{1}{a^n} \ , \ \forall n \in \mathbb{Z} \, , \forall a \in \mathbb{Q}

Como consecuencia:

ejercicio

Propiedad


\left ( \cfrac{a}{b} \right )^{-n}=\left ( \cfrac{b}{a} \right )^{n} \, , \ \forall a, b, n \in \mathbb{Z} \ ; (a, b \ne 0)
.


Propiedades de las potencias de números racionales

Las potencias con números racionales cumplen las mismas propiedades que con números enteros.

Ver: Propiedades de las potencias de números enteros

ejercicio

Propiedades de las potencias


1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

ejercicio

Ejemplos: Potencias de fracciones


Calcula simplificando previamente:

a) \left( \cfrac{7}{6}\right)^4 \cdot \left( \cfrac{3}{7}\right)^4        b) \left( \cfrac{3}{10}\right)^3 : \left( \cfrac{6}{5}\right)^3        c) \left( \cfrac{3}{4}\right)^2 \cdot \left( \cfrac{3}{4}\right)^3        

d) \left( \cfrac{3}{4}\right)^4 : \left( \cfrac{3}{4}\right)^2        e) \left(\left( \cfrac{1}{2}\right)^2 \right)^2        f) \left( \cfrac{3}{5}\right)^0

Raíces de fracciones

Racionalización

Ver: Racionalización

Operaciones combinadas con fracciones

A la hora de operar con fracciones seguiremos las mismas pautas que con números enteros:

Ver: Jerarquía de las operaciones con números enteros

ejercicio

Jerarquía de las operaciones


A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias y las raíces.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
  3. Las sumas y las restas.



ejercicio

Ejemplo:


Efectúa las siguientes operaciones combinadas:

\cfrac{2}{5}+\cfrac{1}{3} \cdot \left (\cfrac{1}{2}-\cfrac{1}{5}  \right )^2

La fracción como operador

Para calcular una fracción \cfrac {a}{b} de una cantidad C\;\!, procederemos multiplicando la fracción por la cantidad: \cfrac {a}{b} \cdot C

ejercicio

Ejemplo: La fracción como operador


De una herencia de 27 millones de euros, María recibe las tres quintas partes, su hermano Ramón, la mitad del resto, y su hermana Matilde, lo que queda.
a) ¿Qué fracción le corresponde a cada uno?
b) Calcula cuánto se lleva cada uno.

Ejercicios

wolfram

Actividad: Operaciones combinadas con fracciones


Efectúa las siguientes operaciones:

a) \left ( \cfrac{1}{2} + \cfrac{1}{3} \right ) -  \left ( \cfrac{3}{4} - \cfrac{1}{6} \right )                b) 1+\cfrac{7}{6} \cdot \cfrac{-2}{14}                c) \left ( \cfrac{3}{5}-\cfrac{2}{6} \right ):\cfrac{3}{15}

ejercicio

Problemas: La fracción como operador


1. El aire es una mezcla de gases. En la capa más próxima a la superficie de la Tierra, se encuentran en las siguientes proporciones: \cfrac{3}{4} de nitrógeno, \cfrac{1}{5} de oxígeno, \cfrac{3}{10000} de anhídrido carbónico y el resto son gases nobles. Halla cuántos litros de cada uno de estos gases se encuentran en 1 m3 de aire.

2. La sangre humana se compone de \cfrac{9}{20} de corpúsculos (glóbulos rojos,glóbulos blancos, plaquetas) y el resto de plasma. Sabiendo que la sangre de una persona constituye aproximadamente \cfrac{1}{14} de su masa, ¿cuánto pesan los corpúsculos sanguíneos de un individuo de 77 kg?

3. Una colonia de verano consta de dos pabellones. En el pabellón A hay 320 personas más que en el B. Sabiendo que en el B se encuentran los \cfrac{7}{22} del total, ¿cuántas personas hay en la colonia?

4. En un campo se cultivan flores. La cuarta parte son rosas, la sexta parte claveles y el resto son tulipanes. La sexta parte de la parcela dedicada a rosas es para flores blancas. Si el campo tiene 720 m2 y en cada metro cuadrado hay 200 flores, ¿cuántas rosas blancas se recogerán?

5. En un congreso internacional, \cfrac{3}{8} de los asistentes son europeos, y la tercera parte, americanos. Hay 49 asistentes que no son europeos ni americanos. ¿Cuántos congresistas hay?

6. Disponemos de tres grifos para llenar un depósito. El primero lo llena en 3 horas, el segundo en 4 horas, y el tercero, en 6. Si se abren los tres a la vez, ¿cuánto tardarán en llenar el depósito?

7. La diferencia entre los \cfrac{4}{5} y los \cfrac{2}{3} de un número es igual a 8. ¿Cuál es ese número?

8. Si se unen dos cables eléctricos, se obtiene un cable de 440 m. Si sabemos que uno mide los \cfrac{4}{7} del otro, ¿cuál es la longitud de cada cable?

9. Se siembra un huerto con patatas, puerros y zanahorias. Las patatas ocupan la cuarta parte, los puerros los dos quintos, y las zanahorias, el resto. La parte dedicada a los puerros supera en 30 m2 a la de las zanahorias. ¿Cuál es la extensión del huerto?

10. Por la compra de un apartamento hemos dado como anticipo 24000 € y nos hemos comprometido a pagar 250 € al mes. Después de 24 meses hemos pagado los \cfrac{5}{8} del precio total. Calcula el precio del apartamento.

ejercicio

Problemas: Fracciones


1. Los \cfrac{4}{7} de una pieza de tela cuestan 52 €, y el resto mide 6 metros. Calcula la longitud total y el precio total de la pieza.

2. En cierto país trabajan \cfrac{2}{5} de la población. De los trabajadores, \cfrac{1}{4} se dedica a la construcción, \cfrac{3}{25} a la industria, \cfrac{2}{5} al sector servicios, y el resto a la agricultura.

a) ¿Qué parte de los trabajadores se dedica a la agricultura?
b) ¿Qué fracción del total de la población representa?

3. De una cantidad de dinero se gasta la tercera parte, después los \cfrac{2}{5} del resto, y por último \cfrac{1}{4} de lo que queda.

a) ¿Qué parte del total se ha gastado?
b) Si al final hay 3780 €, ¿cuánto había al principio?

Herramientas personales
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