Triángulos

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==Triángulo== ==Triángulo==
-{{Caja_Amarilla|texto=Un '''triángulo''' es un polígono de tres lados. Por tanto, tiene tres vértices y tres ángulos. +{{triángulo: def y prop}}
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-'''Nomenclatura:'''+
-* En un triángulo, la letra que se usa para el vértice es mayúscula: A, B, C, y sirve también para nombrar el ángulo.+
-* El nombre de cada lado se expresa con una letra minúscula: a, b, c; es la letra correspondiente al vértice opuesto al lado. También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas: BC, AB, AB, las de los vértices contenidos en ese lado.+
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-En la siguiente escena, observa como se nombran los lados, ángulos y vértices de un triángulo: 
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-Arrastra los vértices para modificar el triángulo.+==Igualdad de triángulos==
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-:Todo triángulo cumple las siguientes propiedades: 
-:# Sus tres ángulos suman 180º.+===Construcción de triángulos===
-:# La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.+{{Construcción de triángulos}}
-:# Es rígido.+{{p}}
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-'''1. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.'''+
-Para comprobar esta propiedad vamos a hacer uso de la siguiente escena. En ella, A es un punto fijo, B puede moverse horizontalmente y C libremente: esto permite dibujar cualquier triángulo. La recta que pasa por C es paralela al lado AB con lo cual los ángulos verdes son iguales y los amarillos también (alternos internos). Si sumamos los tres ángulos en el vértice C, obtenemos siempre un ángulo llano.+==Rectas y puntos notables en un triángulo==
 +{{Rectas y puntos notables en un triángulo}}
-<center><iframe>+==Triángulos rectángulos==
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Triangulos/triaa_1.html+{{Tabla75
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-'''2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.'''+*El mayor de los lados es el opuesto al ángulo recto y se le llama '''hipotenusa'''.
-En la siguiente escena puedes comprobar esta propiedad. Mueve los vértices para cambiar la forma del triángulo.+*A los otros dos lados, que forman el ángulo recto, se les llama '''catetos'''.
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-'''3. Es rígido'''+Consiste en inscribirlo en una circunferencia cuyo diámetro coincida con la hipotenusa. Esto es así por una propiedad de los [[Ángulos en la circunferencia#ángulo inscrito| ángulos inscritos]] en una circunferencia.
-Observa la escena, arrastra los vértices y comprueba que:+Mueve el punto C y comprueba que el triángulo inscrito de esta forma siempre es rectángulo.
- +
-* Con tres varillas iguales podemos formar un triángulo, que no se deforma.+
- +
-* Con cuatro varillas iguales, el cuadrilátero que se forma, puede deformarse, no es rígido. +
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-Un triángulo, tiene tres lados y tres ángulos. Para construir un triángulo hay que conocer tres de esos datos, siendo al menos uno de ellos un lado:+{{AI_enlace
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-* Conocidos los tres lados.+|url1=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/trianeval.htm
-* Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.+
-* Conocido un lado y sus dos ángulos contiguos.+
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-Dos triángulo son iguales si tienen sus lados y sus ángulos iguales.+
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-Para que dos triángulos sean iguales basta con que se verifique una de las siguientes condiciones:+
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-* Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales.+
-* Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo comprendido entre ellos.+
-* Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y son iguales sus ángulos contiguos.+
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-Las tres medianas se cortan en un punto llamado '''baricentro''' y es el centro de gravedad del triángulo: desde este punto podríamos atarlo con un hilo y quedaría suspendido horizontalmente.+
- +
-* '''Alturas y ortocentro'''+
-La '''altura''' de un triángulo es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto.+
-Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado '''ortocentro'''.+
- +
-* '''Mediatrices y circuncentro'''+
-Las '''mediatrices''' de un triángulo son las perpendiculares a los puntos medios de cada lado.+
-Las tres mediatrices siempre se cortan en un punto llamado '''circuncentro''', que es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices del triángulo).+
- +
-* '''Bisectrices e incentro'''+
-Las tres '''bisectrices''' de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado '''incentro''', que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. La circunferencia inscrita es una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo. +
-}}{{p}} +
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-:1. [http://mimosa.cnice.mecd.es/~clobo/geoweb/trian5.htm Medianas y baricentro]+
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-:3. [http://mimosa.cnice.mecd.es/~clobo/geoweb/trian4.htm Mediatrices y circuncentro]+
-:4. [http://mimosa.cnice.mecd.es/~clobo/geoweb/trian7.htm Bisectrices e incentro]+
-}}+
-==Teorema de Pitágoras==+
-{{Teorema|titulo=Teorema de Pitágoras|enunciado=+
-:En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual al cuadrado de la suma de los catetos+
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-:donde '''''a''''' y '''''b''''' son los catetos y '''''c''''' la hipotenusa.+
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-|enunciado=+
-:1. [http://mimosa.cnice.mecd.es/~clobo/geoweb/trian8.htm Teorema de Pitágoras. Ternas pitagóricas]+
-:2. [http://mimosa.cnice.mecd.es/~clobo/geoweb/trian9.htm Aplicaciones del teorema de Pitágoras.]+
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-==Ejercicios==+{{Web_enlace
-{{ejercicio+|descripcion=Una completa colección de videos sobre triángulos y sus propiedades, con problemas de aplicación.
-|titulo=Ejercicios+|enlace=[http://www.youtube.com/playlist?list=PLPrT9FThiZ6RjhP2mutYHRCPQtBJBhQ8B Videotutoriales]
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-:1. [http://mimosa.cnice.mecd.es/~clobo/geoweb/trianejer.htm Actividades.]+
-:2. [http://mimosa.cnice.mecd.es/~clobo/geoweb/trianeval.htm Autoevaluación.]+
}} }}

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Tabla de contenidos

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Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados.

Nomenclatura:

  • En un triángulo, los vértices se designan con letras mayúsculas (por ejemplo: A \,\ B,\ C) y se disponen siguiendo el sentido contrario de las agujas del reloj.
  • Las mismas letras mayusculas, con un "sombrero", se usan para nombrar los ángulos (\hat A, \ \hat B, \ \hat C), aunque también son usuales las letras griegas (\alpha,\ \beta,\ \gamma). También se puede nombrar un ángulo usando tres vértices consecutivos. (Por ejemplo: \hat{ABC} sería igual que el ángulo \hat B\;).
  • Cada lado se designa con la misma letra con que se designa al lado opuesto, pero en minúscula (a,\ b,\ c). También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas (BC,\ AC,\ AB), las de los vértices contenidos en ese lado.

ejercicio

Propiedades

Todo triángulo cumple las siguientes propiedades:

  1. Sus tres ángulos suman 180º.
  2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
  3. Es rígido, de hecho, es el único polígono indeformable.
  4. Si a=b\;, entonces \hat A=\hat B. Y si a<b\;, entonces \hat A< \hat B.

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Clasificación de los triángulos

Según sus lados:
  • Equilátero: Si tiene los tres lados iguales
  • Isósceles: Si tiene dos lados iguales.
  • Escaleno: Si tiene tres lados desiguales.

Según sus ángulos:

  • Rectángulo: Si tiene un ángulo recto
  • Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso
  • Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos

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Igualdad de triángulos

Dos triángulo son iguales (congruentes) si tienen sus lados y sus ángulos iguales.

Para que dos triángulos sean iguales basta con que se verifique una de las siguientes condiciones:

ejercicio

Criterios de congruencia de triángulos

  • Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales (LLL).
  • Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo comprendido entre ellos (LAL).
  • Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y son iguales sus ángulos contiguos (ALA).

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Construcción de triángulos

Basándonos en lo anterior podemos dar el siguiente resultado:

ejercicio

Procedimiento

Es posible construir un triángulo si se da alguna de las siguientes situaciones:

a) Se conocen los tres lados (LLL).
b) Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).
c) Se conocen un lado y sus dos ángulos contiguos (ALA).

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Rectas y puntos notables en un triángulo

El video y las actividades que tienes a continuación resumen lo que vamos a ver en este apartado.

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Medianas y baricentro

  • Las medianas de un triángulo son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.
  • Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro y es el centro de gravedad del triángulo: desde este punto podríamos atarlo con un hilo y quedaría suspendido horizontalmente.

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Alturas y ortocentro

  • Ls alturas de un triángulo son las perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto.
  • Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro (O).

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Mediatrices y circuncentro

  • Las mediatrices de un triángulo son las perpendiculares a los puntos medios de cada lado.
  • Las tres mediatrices siempre se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, que pasa por los tres vértices del triángulo.

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Bisectrices e incentro

  • Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales.
  • Las tres bisectrices de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, que es tangente a los tres lados del triángulo.

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Recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo es aquella recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo.

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Triángulos rectángulos

  • Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto.
  • El mayor de los lados es el opuesto al ángulo recto y se le llama hipotenusa.
  • A los otros dos lados, que forman el ángulo recto, se les llama catetos.

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Teorema de Pitágoras

ejercicio

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:


a^2+b^2=c^2\;\!


donde a\;\! y b\;\! son los catetos y c\;\! la hipotenusa.


Este teorema se debe a Pitágoras de Samos (aprox. 582 a.C.- 507 a.C.)

Demostración geométrica animada

información
Para más información: Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

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Actividades y videotutoriales

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