Triángulos

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Tabla de contenidos

1 Triángulo
2 Clasificación de los triángulos
3 Igualdad de triángulos
- 3.1 Construcción de triángulos
4 Rectas y puntos notables en un triángulo
5 Triángulos rectángulos
- 5.1 Teorema de Pitágoras
6 Actividades y videotutoriales

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Triángulo

Un triángulo es un polígono de tres lados.

Nomenclatura:

En un triángulo, los vértices se designan con letras mayúsculas (por ejemplo: $A \,\ B,\ C$ ) y se disponen siguiendo el sentido contrario de las agujas del reloj.
Las mismas letras mayusculas, con un "sombrero", se usan para nombrar los ángulos ( $\hat A, \ \hat B, \ \hat C$ ), aunque también son usuales las letras griegas ( $\alpha,\ \beta,\ \gamma$ ). También se puede nombrar un ángulo usando tres vértices consecutivos. (Por ejemplo: $\hat{ABC}$ sería igual que el ángulo $\hat B\;$ ).
Cada lado se designa con la misma letra con que se designa al lado opuesto, pero en minúscula ( $a,\ b,\ c$ ). También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas ( $BC,\ AC,\ AB$ ), las de los vértices contenidos en ese lado.

Propiedades

Todo triángulo cumple las siguientes propiedades:

Sus tres ángulos suman 180º.
La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
Es rígido, de hecho, es el único polígono indeformable.
Si $a=b\;,$ entonces $\hat A=\hat B$ . Y si $a<b\;$ , entonces $\hat A< \hat B$ .

Demostración:

1. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.

Podrás ver la demostración en el siguiente video:

Demostración (1'18") Sinopsis:

Demostración de que la suma de los ángulos de un triángulo es un ángulo llano (180º).

Para comprobar esta propiedad vamos a hacer uso de la siguiente escena. En ella, A es un punto fijo, B puede moverse horizontalmente y C libremente: esto permite dibujar cualquier triángulo. La recta que pasa por C es paralela al lado AB con lo cual los ángulos verdes son iguales por ser alternos internos, y los rojos también, por la misma razón. Si sumamos los tres ángulos en el vértice C, obtenemos siempre un ángulo llano.

2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.

En la siguiente escena puedes comprobar esta propiedad. Mueve los vértices para cambiar la forma del triángulo.

3. Es rígido, de hecho, el triángulo es el único polígono indeformable.

Observa la escena, arrastra los vértices y comprueba que:

a) Con tres varillas iguales podemos formar un triángulo, que no se deforma.

b) Con cuatro varillas iguales, el cuadrilátero que se forma, puede deformarse, no es rígido.

Esta propiedad tiene muchas aplicaciones en la construcción. Observa torres de la luz, estructuras metálicas de puentes,... la forma externa puede ser variada, pero llevan diagonales internas que dividen su estructura en triángulos.

4. Si $a=b\;,$ entonces $\hat A=\hat B$ . Y si $a<b\;$ , entonces $\hat A< \hat B$

Demostración (22'32") Sinopsis:

Demostración de Teoremas Fundamentales de los Triángulos

Triángulos

Tutorial 1a (6´10") Sinopsis:

Triángulo: Definición, elementos y propiedades

Tutorial 1b (11´21") Sinopsis:

Convenio y notación para nombrar los lados y los ángulos de un triángulo.

Ejemplos (7´39") Sinopsis:

2 ejemplos de aplicación de la propiedad nº 1 de los triángulos, que dice:

"La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º"

Propiedades de los triángulos

Tutorial 1 (6´45") Sinopsis:

Propiedades de los ángulos interiores y exteriores de un triángulo.

Tutorial 2 (8´52") Sinopsis:

Propiedades de los ángulos y lados de un triángulo.

Tutorial 3 (11´39") Sinopsis:

Suma de los ángulos de un triángulo. Casos particulares.

Tutorial 4 (12´11") Sinopsis:

Propiedades de los lados y ángulos de un triángulo. Ejemplos.

Tutorial 5 (11´39") Sinopsis:

6 teoremas sobre las propiedades de los lados y ángulos de un triángulo.

Ejercicios (Lista de reproducción) Sinopsis:

Lista de vídeos de ejercicios sobre las propiedades de los triángulos.

El triángulo es rígido Descripción:

El triángulo es el único polígono rígido.

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Clasificación de los triángulos

Según sus lados:

Equilátero: Si tiene los tres lados iguales
Isósceles: Si tiene dos lados iguales.
Escaleno: Si tiene tres lados desiguales.

Según sus ángulos:

Rectángulo: Si tiene un ángulo recto
Obtusángulo: Si tiene un ángulo obtuso
Acutángulo: Si tiene tres ángulos agudos

Clasificación de los triángulos

Tutorial 1 (5´39") Sinopsis:

Triángulos. Suma de sus ángulos. Clasificación según sus lados y sus ángulos.

Tutorial 2 (10´34") Sinopsis:

Clasificación de los triángulos según sus lados y sus ángulos.

Tutorial 3 (9´07") Sinopsis:

Clasificación de los triángulos según sus lados y sus ángulos.

Tutorial 4 (2´36") Sinopsis:

Clasificación de los triángulos según sus lados y sus ángulos.

Clasificación de los triángulos

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que podrás aprender los elementos de un triángulo y a clasificar estos atendiendo a sus lados y a sus ángulos.

Autoevaluación Descripción:

Actividad en la qué podrás comprobar lo que sabes sobre la clasificación de los triángulos atendiendo a sus lados o a sus ángulos.

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Igualdad de triángulos

Dos triángulo son iguales (congruentes) si tienen sus lados y sus ángulos iguales.

Para que dos triángulos sean iguales basta con que se verifique una de las siguientes condiciones:

Criterios de congruencia de triángulos

Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales (LLL).
Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo comprendido entre ellos (LAL).
Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y son iguales sus ángulos contiguos (ALA).

Congruencia de triángulos

Criterios de congruencia de triángulos (1'43") Sinopsis:

Criterios que permiten determinar cuando dos triángulos son iguales (congruentes).

Criterio de congruencia de triángulos LLL (Parte I) (5'22") Sinopsis:

Criterio de congruencia de triángulos LLL.
Ejercicio de aplicación nº1.

Criterio de congruencia de triángulos LLL (Parte II) (5'11") Sinopsis:

Criterio de congruencia de triángulos LLL.
Ejercicio de aplicación nº2.

Criterio de congruencia de triángulos LAL (Parte I) (5'27") Sinopsis:

Criterio de congruencia de triángulos LAL.
Ejercicio de aplicación nº1.

Criterio de congruencia de triángulos LAL (Parte II) (6'32") Sinopsis:

Criterio de congruencia de triángulos LAL.
Ejercicio de aplicación nº2.

Criterio de congruencia de triángulos ALA (Parte I) (6'32") Sinopsis:

Criterio de congruencia de triángulos ALA.
Ejercicio de aplicación nº1.

Criterio de congruencia de triángulos ALA (Parte II) (5'22") Sinopsis:

Criterio de congruencia de triángulos ALA .
Ejercicio de aplicación nº2.

Cuarto criterio de congruencia de triángulos (caso especial) (10'54") Sinopsis:

Cuarto criterio (caso especial) de congruencia de triángulos.
Ejercicio de aplicación.

Aplicación: El teorema de la mediatriz (9'28") Sinopsis:

En este video, apoyándonos en los criterios de congruencia de triángulos, se comprobará la siguiente propiedad de la mediatriz de un segmento:

"Todo punto que se encuentre sobre la mediatriz de un segmento, equidista de los extremos del segmento"

Tras ello se verá un ejercicio de aplicación de esa propiedad.

Aplicación: El teorema de la bisectriz (10'42") Sinopsis:

En este video, apoyándonos en los criterios de congruencia de triángulos, se comprobará la siguiente propiedad de la bisectriz de un ángulo:

"Cualquier punto que se encuentra en la bisectriz de un ángulo, equidista de los lados del ángulo."

Tras ello se verá un ejercicio de aplicación de esa propiedad.

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Construcción de triángulos

Basándonos en lo anterior podemos dar el siguiente resultado:

Procedimiento

Es posible construir un triángulo si se da alguna de las siguientes situaciones:

a) Se conocen los tres lados (LLL).

b) Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL).

c) Se conocen un lado y sus dos ángulos contiguos (ALA).

Demostración:

a) Construcción de un triángulo conociendo los tres lados (LLL):

Recuerda que para poder realizar la construcción la medida de cada lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.

Se representa un segmento de medida igual al primer lado.
Desde cada extremo del primer lado se traza una circunferencia de radio el valor del segundo y tercer lado.
El triangulo tiene por vértices los extremos del primer segmento y una de las intersecciones de las circunferencias.

b) Construcción de un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL):

Se representa uno de los segmentos.
Se traza el ángulo que forman los lados.
Se lleva el segundo lado conocido sobre el lado del ángulo.
Basta con unir los extremos de los dos lados para construir el triángulo.

c) Construcción de un triángulo conocido un lado y sus dos ángulos contiguos (ALA):

Recuerda que la suma de los dos ángulos conocidos ha de ser menor de 180º.

Se construye el lado conocido.
Desde cada uno de los extremos del lado se trazan los ángulos dados.
La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo.

Construcción de triángulos

Construcción de un triángulo (LLL) (4´00") Sinopsis:

Construcción de un triángulo conociendo los tres lados (LLL), con regla y compás.

Construcción de un triángulo (LAL) (2´56") Sinopsis:

Construcción de un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL), con regla y compás.

Construcción de un triángulo (ALA) (3´10") Sinopsis:

Construcción de un triángulo conocido un lado y sus dos ángulos contiguos (ALA), con regla y compás.

Construcción de un triángulo equilátero conocido el lado (1´05") Sinopsis:

Construcción de un triángulo equilátero conocido el lado, con regla y compás.

Construcción de triángulos

Actividad 1: Construcción de un triángulo (LLL) Descripción:

Construcción de un triángulo conociendo los tres lados (LLL), con regla y compás.

Actividad 2: Construcción de un triángulo (LAL) Descripción:

Construcción de un triángulo conociendo los dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (LAL) , con regla y compás.

Actividad 3 Descripción:

Actividades en las que podrás aprender a construir triángulos a partir de sus lados y de sus ángulos, en los casos vistos anteriormente: LLL, ALA y LAL.

Actividad 4 Descripción:

Aprende a construir triángulos. Ejercicios resueltos.

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Rectas y puntos notables en un triángulo

El video y las actividades que tienes a continuación resumen lo que vamos a ver en este apartado.

Elementos notables de un triángulo

Tutorial 1 (5´33") Sinopsis:

Construcción de triángulos. Elementos notables y su construcción.

Tutorial 2 (5´44") Sinopsis:

En este video vamos a estudiar las rectas y puntos notables de un triángulo:

Rectas: bisectriz, mediana, mediatriz y altura.
Puntos: incentro, baricentro, circuncentro y ortocentro.

Elementos notables de un triángulo

Actividad 1 Descripción:

Actividades en las que podrás aprender cuáles son los puntos y rectas notables de un triángulo.

Actividad 2 Descripción:

Actividades en las que podrás aprender cuáles son los puntos y rectas notables de un triángulo.

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Medianas y baricentro

Las medianas de un triángulo son las rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas se cortan en un punto llamado baricentro y es el centro de gravedad del triángulo: desde este punto podríamos atarlo con un hilo y quedaría suspendido horizontalmente.

Medianas y baricentro

Tutorial 1 (5'25") Sinopsis:

Puntos y rectas notables de un triángulo: medianas y baricentro.

Tutorial 2 (8´51") Sinopsis:

Medianas y baricentro de un triángulo. Propiedad del baricentro.

Baricentro (construcción) (3´11") Sinopsis:

Construcción con regla y compás de las medianas y del baricentro de un triángulo.

Baricentro Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con un triángulo y ver su baricentro y sus medianas.

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Alturas y ortocentro

Ls alturas de un triángulo son las perpendiculares desde cada vértice al lado opuesto.
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro (O).

Alturas y ortocentro

Tutorial 1 (3'08") Sinopsis:

Puntos y rectas notables de un triángulo: alturas y ortocentro.

Tutorial 2 (7´38") Sinopsis:

Alturas y ortocentro de un triángulo según sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo.

Ortocentro (construcción) (2´48") Sinopsis:

Construcción con regla y compás de las alturas y del ortocentro de un triángulo.

Ortocentro Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con un triángulo y ver su ortocentro y sus alturas.

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Mediatrices y circuncentro

Las mediatrices de un triángulo son las perpendiculares a los puntos medios de cada lado.
Las tres mediatrices siempre se cortan en un punto llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, que pasa por los tres vértices del triángulo.

Mediatrices y circuncentro (4'02") Sinopsis:

Puntos y rectas notables de un triángulo: mediatrices y circuncentro.

Circuncentro (construcción) (3´12") Sinopsis:

Construcción con regla y compás de las mediatrices y del circuncentro de un triángulo.

Circuncentro Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con un triángulo y ver su circuncentro y sus mediatrices.

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Bisectrices e incentro

Las bisectrices de un triángulo son las rectas que dividen a sus ángulos en dos partes iguales.
Las tres bisectrices de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo, que es tangente a los tres lados del triángulo.

Bisectrices e incentro (3'32") Sinopsis:

Puntos y rectas notables de un triángulo: bisectrices e incentro.

Incentro (construcción) (2´43") Sinopsis:

Construcción con rtegla y compás de las bisectrices y del incentro de un triángulo.

Incentro Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con un triángulo y ver su incentro y sus bisectrices.

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Recta de Euler

La recta de Euler de un triángulo es aquella recta en la que están situados el ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo.

Recta de Euler (construcción) (2´13") Sinopsis:

Construcción con regla y compás del ortocentro, baricentro y circuncentro y de la recta de Euler.

Recta de Euler Descripción:

En esta escena podrás ver e interactuar con un triángulo y ver la recta de Euler.

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Triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto.

El mayor de los lados es el opuesto al ángulo recto y se le llama hipotenusa.

A los otros dos lados, que forman el ángulo recto, se les llama catetos.

Increibles triángulos (3´06") Sinopsis:

Una breve explicación sobre lo que sucede con los ángulos internos de los triángulos.

Construcción de un triángulo rectángulo Descripción:

La siguiente escena muestra como construir un triángulo rectángulo usando una circunferencia.

Consiste en inscribirlo en una circunferencia cuyo diámetro coincida con la hipotenusa. Esto es así por una propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia.

Mueve el punto C y comprueba que el triángulo inscrito de esta forma siempre es rectángulo.

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Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:

$a^2+b^2=c^2\;\!$

donde $a\;\!$ y $b\;\!$ son los catetos y $c\;\!$ la hipotenusa.

Este teorema se debe a Pitágoras de Samos (aprox. 582 a.C.- 507 a.C.)

Demostración:

Fíjate en la figura de la derecha y observa como el cuadrado grande, de lado

a + b

, puede descomponerse en un cuadrado de lado

c

y 4 triángulos rectángulos, como el de partida, de catetos

a

b

e hipotenusa

c

La superficie del cuadrado grande de lado $a + b$ es:

$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\;\!$

La superficie de los cuatro triángulos rectángulos es :

$4 \cdot \cfrac {b \cdot a}{2}=2ab$

Restando el área del cuadrado grande de lado $a + b$ menos las areas de los 4 triángulos rectángulos, se obtiene el área del cuadrado de lado $c$ :

$c^2=(a+b)^2-2ab\;\!$

Desarrollando el cuadrado del binomio:

$c^2=(a^2+b^2+2ab)-2ab\;\!$

De donde obtenemos, simplificando:

$c^2=a^2+b^2 \;\!$

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras:

Tutorial 1 (7'24") Sinopsis:

Teorema de Pitágoras. Ejemplos y ejercicios.

Tutorial 2 (10'54") Sinopsis:

Teorema de Pitágoras. Ejemplos y ejercicios.

Tutorial 3 (2'17") Sinopsis:

Teorema de Pitágoras. Ejemplos.

Tutorial 4 (2'15") Sinopsis:

Teorema de Pitágoras y recíproco. Ejemplo.

Demostraciones:

Demostración 1 (4´29") Sinopsis:

Demostración del teorema de Pitágoras mediante una construcción geométrica, con ejemplos previos de casos particulares.

Demostración 2 (5'00") Sinopsis:

La misma demostración del teorema de Pitágoras mediante una construcción geométrica, sin ejemplos previos.

Demostración 3

Otra demostración basada en el teorema de la altura y el teorema del cateto.

Consta de tres partes:

1. Teorema de la altura (13´57") Sinopsis:

Demostración del teorema de de la altura.

2. Teorema del cateto (16´16") Sinopsis:

Demostración del teorema del cateto.

3. Teorema de Pitágoras (15´24") Sinopsis:

Demostración del teorema de Pitágoras.

Otros videos:

Pitágoras y su teorema (9'56") Sinopsis:

Pitágoras. El teorema de Pitágoras. Demostraciones.

Pitágoras: mucho más que un teorema (25´) Sinopsis:

Sin duda Pitágoras es el matemático más conocido del gran público. Todo el mundo recuerda su famoso teorema. Pero las Matemáticas le deben a Pitágoras y a los pitagóricos mucho más. Ellos son los que pusieron las primeras piedras científicas no solo de la Geometría sino también de la Aritmética, de la Astronomía y de la Música. Pero antes de Pitágoras otras dos culturas habían desarrollado unas matemáticas prácticas muy potentes: los babilonios y los egipcios. Exploraremos sus aportaciones tanto en el terreno de los sistemas de numeración que empleaban, como de sus habilidades astronómicas y geométricas. Del sistema sexagesimal de los babilonios hemos heredado tanto la división de la circunferencia en 360 grados como la forma actual de medir el tiempo en horas, minutos y segundos. Sus tablillas nos reservan unas cuantas sorpresas matemáticas. Quizás la más importante, la tablilla Plimpton, nos desvela el hecho sorprendente de que conocían las ternas pitagóricas mil años antes de que Pitagoras viera la luz.Disfrutaremos de alguna de las demostraciones gráficas más llamativas del famoso teorema, el que cuenta con un mayor número de demostraciones distintas a lo largo de la historia.

Teorema de Pitágoras

Demostraciones gráficas Descripción:

Esta unidad didáctica presenta varias demostraciones del teorema de Pitágoras.

Comprobación geométrica Descripción:

En esta escena podrás comprobar el teorema de Pitágoras mediante el procedimiento gráfico de los cuadrados construidos sobre los lados del triángulo.

Para más información: Teorema de Pitágoras. Aplicaciones

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Actividades y videotutoriales

Autoevaluación Descripción:

Autoevaluación sobre triángulos.

Videotutoriales Descripción:

Una completa colección de videos sobre triángulos y sus propiedades, con problemas de aplicación.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Tri%C3%A1ngulos"

Triángulos

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Tabla de contenidos

Triángulo

Clasificación de los triángulos

Igualdad de triángulos

Construcción de triángulos

Rectas y puntos notables en un triángulo

Medianas y baricentro

Alturas y ortocentro

Mediatrices y circuncentro

Bisectrices e incentro

Recta de Euler

Triángulos rectángulos

Teorema de Pitágoras

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-{{Menú Matemáticas 3ESO
+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
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-|ampliar=[http://www.escolar.com/avanzado/geometria010.htm Triángulos]
+|ampliar=
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-|enlaces=[http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo Triángulo]
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 {{p}}
 ==Triángulo==
-{{Tabla75|celda1=
+{{triángulo: def y prop}}
-{{Caja_Amarilla|texto=Un '''triángulo''' es un polígono de tres lados. Por tanto, tiene tres vértices y tres ángulos.
-}}{{p}}
-'''Nomenclatura:'''
-* En un triángulo, la letra que se usa para el vértice es mayúscula: <math>A \,\ B,\ C</math>.
-* Las mismas letras mayusculas, con un "sombrero", para nombrar el ángulo:<math>\hat A, \ \hat B, \ \hat C</math>, aunque también son usuales las letras griegas: <math>\alpha,\ \beta,\ \gamma</math>.
-* El nombre de cada lado se expresa con una letra minúscula: <math>a,\ b,\ c</math>; es la letra correspondiente al vértice opuesto al lado. También se puede expresar cada lado con dos letras mayúsculas: <math>BC,\ AC,\ AB</math>, las de los vértices contenidos en ese lado.
-|celda2=[[Imagen:trinagulo.png|230px]]}}
-{{p}}
-{{Teorema
-|titulo=Propiedades
-|enunciado=
-:Todo triángulo cumple las siguientes propiedades:
-:# Sus tres ángulos suman 180º.
-:# La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.
-:# Es rígido, de hecho, es el único polígono indeformable.
-|demo=
-'''1. Los tres ángulos de un triángulo suman 180º.'''
-Para comprobar esta propiedad vamos a hacer uso de la siguiente escena. En ella, A es un punto fijo, B puede moverse horizontalmente y C libremente: esto permite dibujar cualquier triángulo. La recta que pasa por C es paralela al lado AB con lo cual los ángulos verdes son iguales y los amarillos también (alternos internos). Si sumamos los tres ángulos en el vértice C, obtenemos siempre un ángulo llano.
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-</iframe></center>
-'''2. La longitud de cada lado es menor que la suma de los otros dos.'''
-En la siguiente escena puedes comprobar esta propiedad. Mueve los vértices para cambiar la forma del triángulo.
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-'''3. Es rígido, de hecho, el triángulo es el único polígono indeformable.'''
-Observa la escena, arrastra los vértices y comprueba que:
-a) Con tres varillas iguales podemos formar un triángulo, que no se deforma.
-b) Con cuatro varillas iguales, el cuadrilátero que se forma, puede deformarse, no es rígido.
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-Esta  propiedad tiene muchas aplicaciones en la construcción. Observa torres de la luz, estructuras metálicas de puentes,... la forma externa puede ser variada, pero llevan diagonales internas que dividen su estructura en triángulos.
-}}
 {{p}}
 ==Clasificación de los triángulos==
-===Según sus lados===
+{{triangulo: clasificacion}}
-{{Tabla50|celda1={{p}}
-* '''Equilátero:''' Si tiene los tres lados iguales
-* '''Isósceles:''' Si tiene dos lados iguales.
-* '''Escaleno:''' Si tiene tres lados desiguales.
-|celda2=
-<table align="center">
-<tr align="center">
-<td>[[Image:Triangle.Equilateral.png|Triángulo Equilátero]]</td>
-<td>[[Image:Triangle.Isosceles.png|Triángulo Isósceles]]</td>
-<td>[[Image:Triangle.Scalene.png|Triángulo Escaleno]]</td>
-</tr>
-<tr align="center">
-<td>Equilátero</td><td>Isósceles</td><td>Escaleno</td>
-</tr>
-</table>
-}}
 {{p}}
-===Según sus ángulos===
+==Igualdad de triángulos==
-{{Tabla50|celda1={{p}}
+{{Igualdad de triángulos}}
-* '''Rectángulo:''' Si tiene un ángulo recto
-* '''Obtusángulo:''' Si tiene un ángulo obtuso
-* '''Acutángulo:''' Si tiene tres ángulos agudos
-|celda2=
-<table align="center">
-<tr align="center">
-<td>[[Image:Triangle.Right.png|Triángulo Rectángulo]]</td>
-<td>[[Image:Triangle.Obtuse.png|Triángulo Obtusángulo]]</td>
-<td>[[Image:Triangle.Acute.png|Triángulo Acutángulo]]</td>
-</tr>
-<tr align="center">
-<td>Rectángulo</td><td>Obtusángulo</td><td>Acutángulo</td>
-</tr>
-</table>
-}}
 {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Clasificación de los triángulos''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Actividades.
-|actividad=
-Contesta en tu cuaderno:
-a) Si un triángulo tiene dos ángulos agudos, ¿también lo es el tercero?<br>b) Dibuja un triángulo rectángulo e isósceles.<br>c) ¿Puede ser un triángulo rectángulo y equilátero a la vez?.<br>d) Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 25º. ¿Cuánto mide el otro?
-En la siguiente escena, mueve los vértices para cambiar el valor de los ángulos y comprueba los resultados que has obtenido.
+===Construcción de triángulos===
+{{Construcción de triángulos}}
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian2_7.html
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-</iframe></center>
-}}
-}}
 {{p}}
-==Construcción de triángulos==
+==Rectas y puntos notables en un triángulo==
-Un triángulo, tiene tres lados y tres ángulos.   Para construir un triángulo hay que conocer tres de esos datos, siendo al menos uno de ellos un lado:
+{{Rectas y puntos notables en un triángulo}}
-* Conocidos los tres lados.
+==Triángulos rectángulos==
-* Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
+{{Tabla75
-* Conocido un lado y sus dos ángulos contiguos.
+|celda2=[[Imagen:triangulo_rectangulo.png|175px]]
-{{p}}
+|celda1=
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Construcción de triángulos''|cuerpo=
+{{Caja_Amarilla|texto=
-{{ai_cuerpo
+*Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto.
-|enunciado=1. Construcción de un triángulo conociendo los tres lados.
-|actividad=El proceso de construcción se muestra en la figura:
-Recuerda que para poder realizar la construcción la medida de cada lado ha de ser menor que la suma de los otros dos.
+*El mayor de los lados es el opuesto al ángulo recto y se le llama '''hipotenusa'''.
-# Se representa un segmento de medida igual al primer lado.
+*A los otros dos lados, que forman el ángulo recto, se les llama '''catetos'''.
-# Desde cada  extremo del primer lado se traza una circunferencia de radio el valor del segundo  y tercer lado.
-# El triangulo tiene por vértices los extremos del primer segmento y una de las intersecciones de las circunferencias.
-<center><iframe>
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 }}
-{{ai_cuerpo
+{{p}}
-|enunciado=2. Construcción de un triángulo, conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
+{{Video_enlace_unpuntocircular
-|actividad=El proceso de construcción se muestra en la figura:
+|titulo1=Increibles triángulos
+|duracion=3´06"
-# Se representa uno de los segmentos.
+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=GAb7m5oBMs4
-# Se traza el ángulo que forman los lados.
+|sinopsis=Una breve explicación sobre lo que sucede con los ángulos internos de los triángulos.
-# Se lleva el segundo lado conocido sobre el lado del ángulo.
-# Basta con unir los extremos de los dos lados para construir el triángulo.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian3_2.html
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-</iframe></center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=3. Construcción de un triángulo conocido un lado y sus dos ángulos contiguos.
-|actividad=El proceso de construcción se muestra en la figura:
-La suma de los dos ángulos conocidos ha de ser menor de 180º.
-# Se construye el lado conocido.
-# Desde cada uno de los extremos del lado se trazan los ángulos dados.
-# La intersección de los lados de los ángulos es el tercer vértice del triángulo.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian3_3.html
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-</iframe></center>
 }}
 }}
 {{p}}
+{{AI_enlace
+|titulo1=Construcción de un triángulo rectángulo
+|descripcion=
-==Igualdad de triángulos==
+La siguiente escena muestra como construir un triángulo rectángulo usando una circunferencia.
-Dos triángulo son iguales si tienen sus lados y sus ángulos iguales.
-Para que dos triángulos sean iguales basta con que se verifique una de las siguientes condiciones:
+Consiste en inscribirlo en una circunferencia cuyo diámetro coincida con la hipotenusa. Esto es así por una propiedad de los [[Ángulos en la circunferencia#ángulo inscrito| ángulos inscritos]] en una circunferencia.
-{{p}}
-{{Caja_Amarilla|texto=
-* Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales.
-* Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y también es igual el ángulo comprendido entre ellos.
-* Dos triángulos son iguales si tienen un lado igual y son iguales sus ángulos contiguos.
-}}
-{{p}}
-==Rectas y puntos notables en un triángulo==
-{{Caja_Amarilla|texto=
-* '''Medianas y baricentro'''
-La '''mediana''' de un triángulo es una recta que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto.
-Las tres medianas se cortan en un punto llamado '''baricentro''' y es el centro de gravedad del triángulo: desde este punto podríamos atarlo con un hilo y quedaría suspendido horizontalmente.
-* '''Alturas y ortocentro'''
-La '''altura''' de un triángulo es la perpendicular desde un vértice al lado opuesto.
-Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado '''ortocentro'''.
-* '''Mediatrices y circuncentro'''
-Las '''mediatrices''' de un triángulo son las perpendiculares a los puntos medios de cada lado.
-Las tres mediatrices siempre se cortan en un punto llamado '''circuncentro''', que es el centro de la circunferencia circunscrita (la que pasa por los tres vértices del triángulo).
-* '''Bisectrices e incentro'''
-Las tres '''bisectrices''' de un triángulo cualquiera se cortan en un punto llamado '''incentro''', que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. La circunferencia inscrita es una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo.
-}}{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Elementos notables de un triángulo''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Medianas y baricentro.
-|actividad=
-Se llama '''mediana''' de un triángulo al segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
-Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama '''baricentro'''. El baricentro, G, siempre está en el interior del triángulo.
-Mueve los vértices del triángulo y comprueba que siempre es así.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian5_2.html
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-</iframe></center>
-El baricentro, suele denotarse por la letra G, Centro de '''G'''ravedad.
-Como se ve en la figura, el segmento CG es de medida el doble que el segmento GM.
-Realiza en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
-# Mueve los vértices del triángulo hasta conseguir que GM=1,80 cm. En esa situación ¿Cuánto mide la mediana CM?
-# ¿Es posible determinar el baricentro trazando solamente una mediana? Explica el procedimiento.
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=2. Alturas y ortocentro.
-|actividad=
-'''Altura''' de un triángulo es el segmento que une un vértice con el lado opuesto o su prolongación formando ángulo recto.
-Las tres alturas de un triángulo, o sus prolongaciones, se cortan en un punto que se llama '''ortocentro'''.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian6_3.html
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-</iframe></center>
-Contesta en tu cuaderno:
-# Mueve los vértices del triángulo y observa donde se encuentra el ortocentro en cada tipo de triángulo:
-::a) En un triángulo acutángulo.
-::b) En un triángulo rectángulo.
-::c) En un triángulo obtusángulo.
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=3. Mediatrices y circuncentro.
-|actividad=
-Recuerda que la '''mediatriz'''  de un segmento, es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.
-Observa que las tres mediatrices se cortan en un punto, que se denomina '''circuncentro''' (Ci).
-Mueve los vértices del triángulo y comprueba que siempre es así.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian4_2.html
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-</iframe></center>
-El circuncentro tiene una propiedad muy importante, si se traza una circunferencia con centro en él, que pase por uno de los vértices del triángulo, también pasa por los otros dos vértices. El circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los  tres vértices de un triángulo.
-A esta circunferencia se le llama '''circunferencia circunscrita'''.
-Mueve los vértices del triángulo para comprobar que el circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita.
-Para determinar el circuncentro, basta con trazar dos de las mediatrices y su punto de corte. Ya sabemos que la tercera mediatriz también se corta con las anteriores en el mismo punto.
-El trazado de mediatrices, y en consecuencia el circuncentro resuelven dos importantes problemas geométricos
-:'''1. Determinar el centro de una circunferencia'''. Imagina que encuentras una circunferencia dibujada. ¿Cómo calcular su centro?
-:El proceso a seguir es:
-::a) Se representan tres puntos cualquiera en ella A, B, C. Construimos dos segmentos, por ejemplo AB y BC.
-::b) Se trazan las mediatrices de los dos segmentos.
-::c) El punto en que se cortan las mediatrices es el centro de la circunferencia.
-:'''2. Dados tres puntos cualesquiera, construir la circunferencia que pasa por ellos'''. Explica el proceso a seguir.
-'''Ejercicios:'''
-:'''1.''' Responde a las siguientes preguntas en tu cuaderno usando la siguiente escena:
-::a) Si el triángulo es acutángulo (todos sus ángulos menores de 90º ) ¿Dónde se encuentra el circuncentro?
-::b) ¿Cuándo está en el exterior del triángulo?
-::c) Intenta, moviendo alguno de los vértices, que el triángulo sea rectángulo. ¿Dónde está en este caso el circuncentro?
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian4_3.html
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-</iframe></center>
-:'''2.''' Se desea construir un depósito de agua para abastecer a tres pueblos A, B, C no alineados. ¿Dónde hay que construir el depósito para que esté a la misma distancia de los tres pueblos?
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=4. Recta de Euler.
-|actividad=
-En la figura se muestran el ortocentro, baricentro y circuncentro.
-Mueve los vértices del triángulo y observa que estos tres puntos están siempre alineados, (pertenecientes a la misma recta). Mueve el botón situado fuera del triángulo y observa la relación que existe entre las distancias entre ellos. A la recta que contiene a estos tres puntos, se la denomina '''recta de Euler''', en honor a su descubridor.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian6_4.html
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-</iframe></center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=5. Bisectrices e incentro.
-|actividad=
-La '''bisectriz''' de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales.
-Las tres bisectrices de los ángulos un triángulo se cortan en un punto que se llama '''incentro'''.
-El incentro siempre es un punto situado en el interior del triángulo.
-El incentro tiene una importante propiedad, y de ahí su nombre, es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian7_2.html
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-</iframe></center>
-Para construir la circunferencia inscrita se procede como se muestra en la imagen:
-# Se construyen las bisectrices.
-# La intersección de las bisectrices es el incentro.
-# Desde el incentro se traza una perpendicular a uno de los lados.4.- Se traza la circunferencia con centro el incentro y que pase por la intersección con la perpendicular al lado.
-La circunferencia inscrita es tangente los tres lados, por tanto, el incentro equidista de los tres lados del triángulo.
-Observa la siguiente escena y contesta en tu cuaderno:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian7_3.html
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-</iframe></center>
-El incentro, para un triángulo cualquiera, no está alineado con el ortocentro, baricentro y circuncentro, pero si lo está en un tipo de triángulo.
-Mueve los vértices del triángulo de forma que el incentro esté en la recta que pasa por ortocentro, circuncentro y baricentro. ¿Cómo es el triángulo en este caso?
-Mueve nuevamente los vértices del triángulo hasta conseguir que sea equilátero (aproximadamente). ¿Qué ocurre?
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=6. Identifica los puntos notables de un triángulo.
-|actividad=
-Observa la siguiente escena y contesta en tu cuaderno quién es cada punto:
-Debes mover los vértices del triángulo hasta conseguir saber cual es cada uno.
-Explica el razonamiento que has seguido para saber cual es cada punto.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trianejer_1.html
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-</iframe></center>
-}}
-}}
-==Triángulos rectángulos==
-{{Tabla75|celda1=
-{{Caja_Amarilla|texto=Un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto. El mayor de los lados, opuesto al ángulo recto, se le llama '''hipotenusa'''. A los otros dos, que forman el ángulo recto, se les llama '''catetos'''.}}
-|celda2=[[Imagen:triangulo_rectangulo.png|200px]]}}
-{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Triángulo rectángulo''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Construcción de un triángulo rectángulo usando una circunferencia.
-|actividad=La siguiente escena muestra como construir un triángulo rectángulo. Consiste en inscribirlo en una circunferencia cuyo diámetro cincida con la hipotenusa.
 Mueve el punto C y comprueba que el triángulo inscrito de esta forma siempre es rectángulo.
 <center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo10_1.html
+url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo10_1.html
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 height=400
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 </iframe></center>
-}}
+|url1=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/Medicion_de_angulos/angulo10_1.html
 }}
 {{p}}
 ===Teorema de Pitágoras===
-{{Teorema|titulo=Teorema de Pitágoras|enunciado=
+{{Teorema de Pitágoras}}
-En un triángulo rectángulo la hipotenusa al cuadrado es igual al cuadrado de la suma de los catetos
+{{Info|texto=Para más información: [[Teorema de Pitágoras. Aplicaciones]]}}
-{{Caja|contenido=<math>a^2+b^2=c^2\;\!</math>}}
-donde <math>a\;\!</math> y <math>b\;\!</math> son los catetos y <math>c\;\!</math> la hipotenusa.
-|demo=
-<table align="center">
-<tr>
-<td>Fíjate en la figuar de la derecha y observa como el cuadrado grande, de lado <math>a+b</math>, puede descomponerse en un cuadrado de lado <math>c</math> y 4 triángulos rectángulos, como el de partida, de catetos <math>a</math> y <math>b</math> e hipotenusa <math>c</math>.
-La superficie del cuadrado grande de lado <math>a+b</math> es:
-<center><math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab\;\!</math></center>
-La superficie de los cuatro triángulos rectángulos es :
-<center><math>4 \cdot \cfrac {b \cdot a}{2}=2ab</math></center>
-Restando el área del cuadrado grande de lado <math>a+b</math> menos las areas de los 4 triángulos rectángulos, se obtiene el área del cuadrado de lado <math>c</math>:
-<center><math>c^2=(a+b)^2-2ab\;\!</math></center>
-Desarrollando el cuadrado del binomio:
-<center><math>c^2=(a^2+b^2+2ab)-2ab\;\!</math></center>
-De donde obtenemos, simplificando:
-<center><math>c^2=a^2+b^2 \;\!</math></center></td>
-<td>[[Imagen:pitagoras.png|300px|right]]</td>
-</tr>
-</table>
-----[http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/3_eso/Demostraciones_graficas_teorema_pitagoras/Demostraciones_1.htm#INTRODUCCIÓN Otras demostraciones gráficas]
-}}
 {{p}}
-====Ternas pitagóricas====
-{{Caja_Amarilla|texto=Se llaman '''ternas pitagóricas''' a las ternas de números naturales que verifican el teorema de Pitágoras, por ejemplo 3,4,5. También son ternas pitagóricas sus múltiplos: 6,8,10; 9,12,15 ...
-}}{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Ternas pitagóricas''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Comprueba las siguientes ternas pitagóricas.
-|actividad=
-Comprueba que los números 10, 8 y 6 (el doble de 5, 4 y 3) también verifican la relación anterior. Cualquier múltiplo 5*k, 4*k y 3*k de esos tres números (donde k es un número positivo, cualquiera) también la verifican. En el cuadro siguiente varía los valores del parámetro k y comprueba que el triángulo cuyos lados tienen esas medidas siempre es rectángulo y que efectivamente se verifica la relación anterior. Observa que k puede tomar valores decimales.
-<center><iframe>
+==Actividades y videotutoriales==
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Teorema_de_Pitagoras/pitagoras_3.html
+{{AI_enlace
-width=500
+|titulo1=Autoevaluación
-height=400
+|descripcion=Autoevaluación sobre triángulos.
-name=myframe
-</iframe></center>
-}}
-}}
-{{p}}
-====Aplicaciones del teorema de Pitágoras====
+|url1=http://maralboran.org/web_ma/geometria/geoweb/trianeval.htm
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Aplicaciones del teorema de Pitágoras''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Conocidos los catetos: a=4 cm. y b=5 cm., calcular la hipotenusa, c.
-|actividad=
-Usaremos el teorema de Pitágoras:
-<center><math>c^2=a^2+b^2;\ c^2=4^2+5^2;\ c^2=16+25=13;\ c=\sqrt {41}=6,4</math></center>
-Compruébalo en la escena siguiente:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Teorema_de_Pitagoras/pitagoras_4.html
-width=500
-height=400
-name=myframe
-</iframe></center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=2. Conocido un cateto a=5 cm. y la hipotenusa c=8 cm., calcular el otro cateto, b.
-|actividad=
-Usaremos, de nuevo, el teorema de Pitágoras:
-<center><math>c^2=a^2+b^2;\ 8^2=5^2+b^2;\ b^2=64-25=39;\ c=\sqrt {39}=6,25</math></center>
-Compruébalo en la escena siguiente:
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/Teorema_de_Pitagoras/pitagoras_4.html
-width=500
-height=400
-name=myframe
-</iframe></center>}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=3. Halla la altura de un triángulo equilatero de 4 cm. de lado.
-|actividad=
-Resuélvelo en tu cuaderno y compruébalo en la siguiente escena. Para ello tendrás que mover los vértices del triángulo y usar "la regla" (segmento negro) para medir la altura.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian9_5.html
-width=500
-height=370
-name=myframe
-</iframe></center>
-}}
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=4. Halla la altura de un triángulo isósceles cuyos lados miden c=5 cm. y a=b=4 cm.
-|actividad=
-Resuélvelo en tu cuaderno y compruébalo en la siguiente escena. Para ello tendrás que mover los vértices del triángulo y usar "la regla" (segmento negro) para medir la altura.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian9_5.html
-width=500
-height=370
-name=myframe
-</iframe></center>
-}}
-}}
-{{p}}
-====Clasificar un triángulo atendiendo a sus ángulos, conocidos sus lados====
-{{Caja_Amarilla|texto=
-En un triángulo cualquiera, si llamamos <math>a</math> al lado mayor, y a los otros dos <math>b</math> y <math>c</math>, se cumple que:
-* Si <math>a^2 > b^2 + c^2</math>, el triángulo es obtusángulo
-* Si <math>a^2 = b^2 + c^2</math>, el triángulo es rectángulo
-* Si <math>a^2 < b^2 + c^2</math>, el triángulo es acutángulo
-}}{{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Clasificar un triángulo conocidos sus lados''|cuerpo=
-{{ai_cuerpo
-|enunciado=1. Clasifica los siguientes triángulos:
-|actividad='''Clasifica los siguientes triángulos, atendiendo a sus ángulos:'''
-'''a) Triángulo de lados 4, 5 y 2.<br>b) Triángulo de lados 5, 3 y 4.<br>c) Triángulo de lados 5, 3 y 3.'''
-Primero, en tu cuaderno, haz los cálculos necesarios para contestar a las preguntas. A continuación, en la siguiente escena, mueve los puntos para cambiar el valor de los lados y comprueba los resultados que has obtenido.
-<center><iframe>
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trian9_3.html
-width=500
-height=400
-name=myframe
-</iframe></center>
-}}
 }}
-==Ejercicios==
+{{Web_enlace
-===Ejercicios de autoevaluación===
+|descripcion=Una completa colección de videos sobre triángulos y sus propiedades, con problemas de aplicación.
-{{ejercicio
+|enlace=[http://www.youtube.com/playlist?list=PLPrT9FThiZ6RjhP2mutYHRCPQtBJBhQ8B Videotutoriales]
-|titulo=Ejercicios de autoevaluación
-|cuerpo=
-* [http://maralboran.ath.cx/web_ma/geometria/geoweb/trianeval.htm Autoevaluación cronometrada.]
 }}